Il ruolo della simmetria nella conoscenza

La simmetria di un corpo è determinata dai movimenti che portano il corpo a sovrapporsi a se stesso; questi movimenti vanno sotto il nome di trasformazioni di simmetria. Ognuna di que- ste possibili trasformazioni può essere rappresentata dalla combinazione fra tre tipi fondamen- tali di trasformazioni: rotazione del corpo di un dato angolo, riflessione speculare in un piano e spostamento parallelo di un corpo. Di quest’ultimo tipo di simmetria possono godere soltanto i sistemi “infiniti”12 _{formati dallo stesso oggetto, si pensi ad un colonnato formato tutto dalla}

stessa colonna, oppure ad un reticolo cristallino formato dalla stessa molecola. Perché siamo interessati al concetto di simmetria?

Per cercare di capire il mondo.

Noi non possiamo capire l’universo poiché ne siamo una piccola parte, le leggi e i principi fondamentali vengono verificati in una piccola porzione dell’universo dalla nostra mente, che è, per l’autore, un fenomeno biologico, e pertanto non sappiamo se sono validi ovunque. Ma forse c’è un modo per superare questo problema: dividere l’universo in unità uguali e ripiegarlo su se stesso e pertanto renderlo simmetrico. Questa simmetria dell’universo è tra le più importanti in fisica teorica e rende lo spazio-tempo omogeneo e isotropo. Uno spazio-tempo omogeneo ed isotropo significa che tale struttura non ha né punti privilegiati né direzioni privilegiate.

Il teorema di Emmy Noether stabilisce una relazione tra le proprietà intrinseche di simmetria dello spazio-tempo e le leggi di conservazione: simmetria per traslazione nel tempo (omogeneità o riproducibilità) invarianza dell’energia, omogeneità dello spazio tri-dimensionale conserva- zione dell’impulso, isotropia dello spazio tri-dimensionale invarianza del momento angolare.

L’esistenza di simmetrie in natura, inoltre, rende più agevole la soluzione delle equazioni che ne descrivono le leggi fondamentali: ad esempio, se ci si trova in presenza di campi di forza

10 _{Misura della minima distanza tra due punti.}

11 _{Le funzioni g (x0, x1, x2, x3) sono 16 ma per questioni di simmetria si riducono a 10. Per molti spazi esse sono delle} costanti.

isotropi, sarà sufficiente risolvere il problema con un sistema di riferimento scegliendo una di- rezione arbitraria e agevole per trovare la soluzione e poi generalizzare il risultato alle altre di- rezioni. Esempio semplice: se ruotiamo una sfera attorno ad un qualsiasi suo asse, la sfera resta invariata, quindi descrivendo la sfera in termini matematici, tale descrizione, ovvero l’equazione della sfera, deve risultare invariante per le trasformazioni di rotazione attorno all’asse.

Le simmetrie dello spazio fisico possono essere studiate attraverso i fondamentali concetti di sistema di coordinate e di misura. Noi, dopo aver scelto un arbitrario sistema di riferimento, non necessariamente cartesiano, assegniamo a ogni punto del continuo13 _{spazio-tempo quattro}

numeri (le coordinate X1, X2, X3, X4), che vengono utilizzate per individuare un oggetto14 _nel

continuo spazio-temporale. Tali punti materiali non hanno una durata, ma individuano un evento in un singolo istante, pertanto la descrizione del moto di un punto materiale è rappre- sentato da una linea continua. I sistemi materiali possono interagire soltanto quando hanno un insieme di coordinate in comune (principio di causalità). La possibilità di costruzione dello spazio fisico e delle leggi della natura è ottenuto soltanto in questo modo.

Ma esiste un unico spazio fisico?

Grazie alla convergenza di idee provenienti dalle geometrie multidimensionali di Riemann, definite dal tensore di curvatura dello spazio, e dalla matematica di F. Klein, la geometria diventa algebrico-topologica, cioè si dedica alle simmetrie. Prima di Klein si studiavano figure diverse all’interno dello stesso spazio, con la geometria algebrico-topologica si studia come varia la fi- gura in diversi spazi. L’esempio più importante riguarda la figura del parallelismo: il quinto po- stulato di Euclide ha come conseguenza che lo spazio è piatto (curvatura nulla) e la geodetica è una retta (teorema di Pitagora). Le geometrie algebrico-topologiche analizzano la stessa figura del parallelismo in spazi a curvatura variabile e conseguentemente si studia come varia lo stesso teorema passando da spazio a spazio. La geometria di Euclide è la geometria di uno spazio a curvatura nulla, ma l’oggetto della geometria euclidea non è lo spazio piatto, bensì le figure che vi si disegnano. Prima dello sviluppo della matematica delle simmetrie esisteva una sola geome- tria e un solo spazio, anzi lo spazio lo si identificava con la geometria, quella euclidea.

Kant aveva creduto che esistesse un solo spazio, quello euclideo, infatti prese la geometria a curvatura nulla a priori. Ma con la GRT non soltanto la geometria non è euclidea ma vi è una geometria determinata dai potenziali gravitazionali che varia da punto a punto. Essendo i po- tenziali gravitazionali le funzioni15 _{del tensore metrico esse determinano la struttura dello spazio}

che pertanto si presenta sotto molteplici forme caratterizzate da geodetiche differenti.

L’approccio di Klein non preserva l’unità dello spazio, come erroneamente sostenuto da Cas- sirer16 _{ma in accordo alla teoria dell’invarianza ciascuna geometria dipende dal gruppo di tra-}

sformazione, e le sue proprietà dipendono dalla simmetria e dalla metrica dello spazio in cui la geometria è analizzata. Qui resta il problema di come spiegare più spazi fisici (quadridimensio- nali) e di conseguenza più geometrie locali. Per esempio nel passaggio dalla fisica newtoniana alla SRT cambia lo spazio, da una metrica euclidea passiamo ad una metrica iperbolica, ma il sistema di riferimento può essere cartesiano. Nel passaggio dalla SRT alla GRT la metrica varia da punto a punto in virtù della presenza di campi gravitazionali non omogenei e di intensità variabile, ma accanto alla metrica varia anche il tipo di sistema di riferimento non più cartesiano ma adeguato al tipo di geometria dello spazio locale che la metrica e il gruppo di trasformazione determina. La tesi principale di questo lavoro è la seguente: uno spazio fisico-geometrico è ca- ratterizzato dal suo gruppo di simmetria e dalla sua metrica,17 _{tanti gruppi di simmetria e metri-}

che, tanti spazi fisici.

13 _{Considerare lo spazio-tempo continuo è un’ipotesi di base della GRT.}

14 _{Può riferirsi ad una particella elementare oppure ad un oggetto complesso quale una galassia.} 15 _{Le dieci funzioni di cui si parla sono le funzioni che compongono il tensore metrico g (x0, x1, x2, x3).}

16 _{E. Cassirer, The concept of group and the theory of perception, Philosophy and phenomenological research, vol.5,} No.1, pagg.1-36, 1944.

In questa ricerca l’autore ha cercato di descrivere lo spazio empirico entro i confini fisico- matematici, confini che sfuggono a chi è abituato a cercare le essenze delle cose oltre il concetto di misura. Ma la simmetria e il tensore metrico non sono solo elementi quantitativi ma prima di tutto sono elementi qualitativi, di cui l’aspetto quantitativo, legato alla nozione di misura, è solo un elemento di controllo. Il punto innovativo è: studiando il gruppo delle simmetrie e del tensore metrico dello spazio-tempo si ottengono tutti quegli elementi necessari per capire le leggi della natura. La fisica teorica conferma questo aspetto con il teorema di Emmy Noether, ma i gruppi continui legati alla traslazione nel tempo (invariante l’energia), traslazione nello spazio (inva- riante quantità di moto), rotazione nello spazio (invariante momento angolare) non sono le uni- che simmetrie che determinano la struttura del mondo ma altre e più interessanti simmetrie discrete,18 _{dette di gauge, sembrano essere fondamentali per capire l’intima struttura dell’uni-}

verso e l’essenza delle relazioni tra gli oggetti e/o le particelle e l’evoluzione dei sistemi com- plessi.

Cassirer aveva ragione nel sostenere che la moderna matematica, attraverso il potente stru- mento del gruppo di trasformazione, gioca un ruolo fondamentale nella formulazione delle leggi della natura ed è proprio la teoria degli invarianti ad assicurare ad esse l’oggettività.19