2.1 La relazione principale agente tra depositante e banca
2.1.1 Simmetria informativa
Iniziamo dalla presentazione della relazione tra banca e depositanti in presenza di una corretta distribuzione delle informazioni. In simmetria informativa i depositanti hanno pieno accesso alle notizie riguardanti i progetti di investimento della banca e i loro possibili risultati finali. Essi prestano somme alla banca attraverso la stipula di contratti di debito standard59, rendendo
possibili gli investimenti dall’ultima selezionati.
Il depositante riceve tutto il risultato prodotto dall’investimento finanziato dalla banca se esso ha successo. Nel caso di esito negativo del progetto la banca dovrà comunque provvedere alla remunerazione dei suoi creditori: i depositanti riscuoteranno in questa evenienza un importo pari al totale dei cash flows ottenuti dall’investimento, anche se di entità minore rispetto alla remunerazione stabilita dal loro contratto di deposito. In questo caso essi avranno la possibilità, per recuperare l’intera somma di quanto da loro depositato, di appellarsi alla riserva obbligatoria e, se questa non risultasse sufficiente, al capitale proprio60 che la banca ha
investito in attività alternative.
I depositanti si aspetteranno di ricevere un reddito atteso pari alla capitalizzazione al tasso privo di rischio delle somme investite in depositi bancari. Tale investimento potrebbe con una specifica probabilità assumere valori maggiori rispetto al reddito medio atteso ed è proprio
59 Si veda il paragrafo 1.2.2 relativo all’asimmetria informativa per una esposizione più esauriente del contratto
di debito standard.
60 I depositanti rappresentano dei creditori per la banca. Nel caso in cui le scelte di investimento di quest’ultima
si rivelino fallimentari, essa dovrà rispondere in prima persona ai suoi creditori attingendo al proprio capitale. La riserva obbligatoria è istituita proprio per permettere alla banca di far fronte agli obblighi assunti nei confronti dei depositanti senza minare la sua stabilità, ma essendo calcolata quale percentuale esigua sui depositi potrebbe essere non sufficiente.
42 questa possibilità di più alti guadagni a far propendere i risparmiatori per l’investimento in depositi bancari anziché in attività prive di rischio.61
Il reddito atteso dai depositanti sarà così definito:
(2. 1) 𝐸𝐼𝑑𝑒𝑝 = 𝑝𝑖[(1 + 𝑟𝐿)(1 − 𝑒)𝐷] + (1 − 𝑝𝑖)[𝐶𝐹 + (1 + 𝑟)𝑊] + 𝑒
dove:
pi = Probabilità di successo del generico progetto i
rL = Tasso di interesse applicato ai depositi
e = Coefficiente di riserva obbligatoria D = Depositi
CF = Cash flows generati dal progetto di investimento W = Capitale proprio della banca
Il primo addendo rappresenta lo scenario migliore, quello in cui la banca abbia riscontro positivo dall’attività di investimento prescelta e risulti in questo modo solvente nei confronti dei suoi creditori. L’entità del finanziamento L è pari a (1-e)D data la presenza del vincolo di riserva obbligatoria: l’istituto bancario utilizza le somme D raccolte presso i depositanti per le attività di finanziamento, ma da questi importi dovrà essere sottratta la quota relativa alle riserve da accantonare, definita dal coefficiente di riserva e. La riserva rappresenta una sorta di assicurazione per i depositanti e per questo deve essere disponibile e non vincolata in attività varie. Il tasso sui finanziamenti rL sarà applicato alle somme investite e gli interessi
così ottenuti saranno corrisposti ai depositanti62. Questo risultato sarà ottenuto con la
probabilità di successo pi. Nel caso in cui l’investimento dell’agente risulti fallimentare,
eventualità espressa dal secondo addendo, la banca non entrerà in possesso del totale delle somme necessarie alla restituzione del credito contratto con i depositanti. Questi ultimi saranno risarciti attraverso la corresponsione dei cash flow CF ottenuti dall’investimento. Dato che tali fondi potrebbero risultare insufficienti al rimborso della totalità dei depositi, l’agente dovrà attingere al proprio capitale per risarcire i propri creditori. I risparmiatori quindi riceveranno la somma (1+r)W, ovvero il capitale proprio più il guadagno che la banca riesce ad ottenere dall’investimento al tasso di mercato r dei propri fondi. A tutto ciò si sommano le riserve obbligatorie, eD, le quali saranno versate ai depositanti sia in caso di successo del progetto che nel caso di fallimento dello stesso.
61Gli investitori optano per quegli investimenti che a parità di rischio presentano possibilità di guadagno più
elevate.
62 L’aver affermato che la concorrenza tra banche comporta alle stesse un profitto atteso nullo e l’assunzione di
assenza di costi di intermediazione per la banca conduce alla coincidenza tra tassi attivi sui prestiti e tassi passivi sui depositi. Per questo quanto guadagnato dall’agente sarà totalmente corrisposto al principale come saldo del debito contratto.
43 Il punto focale dell’analisi è rappresentato dalla definizione del tasso applicato dalla banca ai prestiti, dal quale dipende la remunerazione dei depositanti e che a sua volta dipende dalla rischiosità63 del progetto che l’istituto bancario ha deciso di finanziare. Supponiamo a tal
proposito che la banca possa decidere tra due diversi progetti di investimento. Il primo di questi, il progetto A, presenta una rischiosità minore dell’altro, il progetto B, ma i risultati ad esso associati sono inferiori64. Individuiamo con p
i la probabilità di successo del relativo
progetto; il profitto che la banca otterrà e dal quale individueremo il tasso da applicare sui prestiti sarà nel caso dell’attività A:
(2. 2) 𝐸𝜋𝐵𝑎𝑛𝑘𝐴 = 𝑝𝐴(1 + 𝑟𝐿𝐴)(1 − 𝑒)𝐷 + (1 − 𝑝
𝐴)𝐶𝐹𝐴+ 𝑒𝐷 = (1 + 𝑟)𝐷
Con probabilità pA il progetto avrà risultato positivo e la banca riceverà l’ammontare di
interessi calcolati con il tasso rLA applicato alla somma L, quest’ultima indicata con (1-e)D
data la presenza degli obblighi di riserva. Nello scenario avverso, la cui probabilità è (1-pA),
il progetto non produrrà i risultati positivi attesi e alla banca saranno corrisposti solo i minori cash flow che scaturiscono dall’attività. L’intermediario dovrà comunque in ogni caso provvedere al pagamento degli interessi sui depositi di risparmio, come espresso dalla presenza di (1+r)D. Nella formula del profitto è infine presente anche l’ammontare delle riserve che la banca deve accantonare per rispettare i vincoli imposti dalle autorità, andando così a creare un accumulo di liquidità.
Se la banca finanziasse il progetto B otterrebbe il seguente profitto, con le stesse affermazioni elencate per il progetto precedente:
(2. 3) 𝐸𝜋𝐵𝑎𝑛𝑘𝐵 = 𝑝𝐵(1 + 𝑟𝐿𝐵)(1 − 𝑒)𝐷 + (1 − 𝑝
𝐵)𝐶𝐹𝐵+𝑒𝐷 = (1 + 𝑟)𝐷.
L’intermediario bancario ottiene un profitto quando si verifica una differenza positiva tra il tasso attivo sui prestiti e quello passivo sui depositi. Dato che quanto guadagnato dal progetto di investimento sarà usato per la remunerazione dei risparmiatori, sarà necessario che il guadagno ottenuto dall’attività di investimento sia sufficiente ad onorare i propri debiti. Al fine della nostra analisi abbiamo assunto profitti attesi per la banca nulli data la presenza di perfetta concorrenza, da cui l’imposizione delle formule 2. 2 e 2. 3 pari a 0. Sviluppando per il tasso sui prestiti le precedenti funzioni di profitto si arriva a stabilire che:
63 A più alta rischiosità corrisponderà un maggiore tasso applicato, ma si deve ricordare che i risparmiatori
scelgono i propri investimenti sulla base della loro combinazione ottimale rischio rendimento. Essi quindi osserveranno quali progetti la banca decide di finanziare per decidere se depositare le proprie risorse.
64Come nei modelli analizzati nel capitolo precedente si assume che p
axa = pbxb, quindi il progetto A è meno
44
(2. 4) (1 + 𝑟𝐿𝐴) =[(1+𝑟)𝐷−(1−𝑝𝐴)𝐶𝐹−𝑒𝐷]
𝑝𝐴(1−𝑒)𝐷
(2. 5) (1 + 𝑟𝐿𝐵) =[(1+𝑟)𝐷−(1−𝑝𝐵)𝐶𝐹−𝑒𝐷]
𝑝𝐵(1−𝑒)𝐷 .
Grazie alla simmetria informativa saranno due i tassi individuati nell’attività di prestito permettendo ai depositanti di soddisfare la propria preferenza rischio-rendimento: al progetto maggiormente rischioso la banca andrà ad applicare interessi più elevati consentendo così una maggiore remunerazione ai risparmiatori che scelgono di assumere maggiore rischio. In questo modo verrà rispettato il loro costo opportunità confermando la convenienza a destinare le loro risorse in surplus nei depositi di risparmio. Essendo i risparmiatori avversi al rischio, essi prediligeranno quel progetto che a parità di rendimento atteso presenta caratteristiche minori di rischiosità. Avendo anche loro pieno possesso dell’informazione disponibile andranno a selezionare quelle banche che investono le somme raccolte nell’attività che più rispetta la loro frontiera rischio-rendimento.
Ovviamente data la presenza di concorrenza tra banche il tasso 𝑟𝐿𝑖 calcolato sarà tale da
conferire tutto ciò che sarà guadagnato dalla banca ai depositanti, non avendo la prima margine di profitto. Il reddito atteso dalla banca sarà così definito:
(2. 6) 𝐸𝐼𝐵𝑎𝑛𝑘 = (1 + 𝑟)𝑊 − (1 − 𝑝𝑖)(1 + 𝑟)𝑊 = 𝑝𝑖(1 + 𝑟)𝑊
Essendo il tasso attivo sui prestiti corrisposto interamente ai depositanti, la banca conseguirà reddito esclusivamente dagli investimenti operati sul proprio capitale, attività che rendono al tasso free risk r. La banca otterrà reddito con probabilità pi, cioè solo nel caso di scenari
positivi del suo progetto di finanziamento, dato che essa deve in ogni caso garantire ai depositanti la remunerazione prevista.
Consideriamo il risultato della somma del reddito atteso di banca (formula 2.6) e depositanti (formula 2.1), si ottiene: (2. 7) 𝐸𝐼𝐵𝑎𝑛𝑘 + 𝐸𝐼𝐷𝑒𝑝 = 𝑝𝑖(1 + 𝑟)𝑊 + 𝑝𝑖[(1 + 𝑟𝐿)(1 − 𝑒)𝐷] + (1 − 𝑝𝑖)[𝐶𝐹 + (1 + 𝑟)𝑊] + 𝑒𝐷 = =𝑝𝑖(1 + 𝑟)𝑊+ 𝑝𝑖(1 + 𝑟𝐿)(1 − 𝑒)𝐷 + (1 − 𝑝𝑖)𝐶𝐹 +(1 − 𝑝𝑖)(1 + 𝑟)𝑊+ 𝑒𝐷 = =(1 + 𝑟)𝑊+𝑝𝑖(1 + 𝑟𝐿)(1 − 𝑒)𝐷 + (1 − 𝑝𝑖)𝐶𝐹 + 𝑒𝐷 = =(1 + 𝑟)𝑊+(1 + 𝑟)𝐷
45 W in attività prive di rischio e dal capitale dei risparmiatori D in attività di prestito attraverso l’intermediazione dell’istituto bancario. Il primo investimento è scritto in rosso: essendo la somma di pi e (1-pi) pari a 1, si otterrà con certezza dall’addizione dei due redditi la
capitalizzazione del capitale proprio della banca. In verde troviamo invece l’investimento dei depositanti: il loro profitto atteso è definito contrattualmente dall’applicazione alla somma depositata D del tasso di interesse r, pari a quello privo di rischio presente sul mercato. Nel caso di successo dell’attività di prestito i tassi a essa applicati verranno interamente corrisposti ai depositanti, mentre se il progetto di finanziamento fallisse i depositanti riceveranno i cash flows generati CF; in ogni caso i risparmiatori hanno la certezza di poter beneficiare delle riserve obbligatorie. Otteniamo così il risultato atteso totale dalla relazione principale agente in presenza di simmetria informativa.