Teoremi dei cicli reversibili. - Supponiamo di avere un corpo che percorra' un ciclo formato da due

isotermiche e da due adiabatiche. Affinchè possa percor-rere le due isotermiche è necessario avere due sorgenti di calore a differenti temperature T0 e T_{1 •} Il corpo che percorre questa evoluzione dicesi macchina termica elementare e l'evoluzione chiamasi ciclo di Carnot.

Indicando con F l'area racchiusa nel ciclo si ha:

Consideriamo due macchine termiche funzionanti fra le stesse sorgenti a temperatura

T, e T1•

Q, e Q' ₁ =Calore preso rispettivamente dalle due mac-chine alla sorgente superiore;

Q₀ e Q'₀ =Calore versato rispettivamente dalle due macchine nella sorgente inferiore.

140 CALORICO, CALORE Il lavoro prodotto (usiamo l'espressione lavo1·o

pro-dotto, tanto per indicare il lavo1·o prodotto come quello speso, giacchè in quest'ultimo caso il segno dell'espres-sione sarà negativo) dalla prima macch~na sarà:

l

A(Ql- Qo)·

Impieghiamo la seconda macchina a prendere Q¹₀ alla sorgeJ:!te t0 e versare Q, alla sorgente T ₁ il lavo l'o pro-dotto sarà:

A(Q,-Q,o)· l

Se il lavoro prodotto dalie duè macchine deve essere uguale, si dovrà avere

Q¹o=Qo ·

Ora nella stessa macchina Q1 è proporzionale a Q0 ,

poichè in due, tre, ecc. evoluzioni si prende : Q1 , 2Q, 3Q, ecc., e si versa

Qo, 2 Q0 , 3 Q0 ; ecc., quindi:

Sh_=M

Q o

M essendo indipendente dalle quantità di calore Q₁ e Q₀•

Per la seconda m,acchina abbiasi

Q'1=N.

Q'o

Ma per Q'₁ =Q₁ si deve avere Q'₀=Q₀ quindi deve essere

' Il rapporto

~~

^essendo

indip~ndentemente

^{dal corpo}

impiegato, come pure dalla macchina termica, non può dipendere che dalle temperature T1 e T₀ delle due sor-genti, quindi

Q ^l

Q:

^{=F(T1 , T0 ).}

Da questa equazione il ~onte Paolo di San Robert deduce con elegante dimostrazione

Q, f(T1)

Oo

= f(To) .

Ed in generale in una evoluzione chiusa e reversi-bile, nella quale un corpo prenda, o ceda, a delle sor-genti calorifiche di temperatura T ₁ ^, T 2 , T 3 , ecc. le quantità di calore Q1 , Q2 , Q5 , ecc., prendendo positive le quantità di calore ricevute e negative quelle cedute dal corpo, si troverà facilmente

Q1 Q~ Q5

- - - + - - -+ - - . . . =0 {(T₁) f(T2 ) f(Ts)

t)SSia

~--Q =0.

f(T)

E se la temperatura varia in modo continuo da un punto all'altro,

\ dQ

J

^{f(T) =O.}

Quanto alla funzione f (T), si può, applicando le nostre equazioni ai gas permanenti , mostrare che

non è altro che la temperatura che diremo T, quindi

( 13)

Al medesimo risultato giunse il sig. Clausius colla teorìa delle equivalenze, partendo dall'assioma che:

Non può passare calore da un corpo freddo ad uno caldo senza che contemporaneamente non si presenti un'altra modificazione dipendente dalla prima, e chia-mando equivalenti due trasformazioni o modificazioni, che dir si vogliano, tali che l'una possa annullare l'ef fetto dell'ftltra (od in altri termini, che l'una possa rimpiazzare l'altra): mostra come il valore di equiva-lenza della trasformazione di lavoro in calore Q alla temperatura T, sia:

Q T

ed il valore di equivalenza del trasporto del calore Q dalla temperatura 'l\ a quella dì T~ sia:

Q(~.-~J

In seguito a ciò non è difficile dimostrare, appog-giandosi all'assioma or ora annunciato, che per tutte le evoluzioni reversibili si ha:

L'espressione

~

^dTQ venne da Clausius chiamata l'Entropia del corpo. Si annulla pei cicli chiusi e re-vertibili.

27. Determinazione della funzione S. - :::;ervendosi delle equazioni già svolte e delle proprietà dei gas si dimostra che S non è altro che la temperatura asso-luta, che abbiamo indicato con T.

Per cui le equazioni (6), (7), (8) si possono scrivere:

( 14)

(15)

(16)

TdQ=Xdp+ Ydv l

XdT + 'rdv d

T

d p YdT-Tdp

d

T

dv

28. Cicli reversibili. - I cicli riversibili sono carat-terizzati dal fatto che le variazioni degli elementi sono continue .. In essi il corpo viene messo in contatto colle sorgenti di calore solo quando ha la temperatura di queste, e la pressione esterna corrisponde sempre alla pressione del corpo. Date queste ·condizioni, è sempre possibile fare percorrere al corpo il ciclo in senso in-verso ed in tal caso si ha:

~dTQ~o.

L'integrale è preso lungo tutto il contorno del ciolo.

CALORICO, CALORE 141 Vi sono dei casi, in cui queste condizioni non sono

soddisfatte, per es., un gas che si dilati in un mezzo avente una pressione inferiore alla propria e che poi con una lenta compressione venga ricondotto allo stato iniziale percorrerebbe un ciclo chiuso, ma certamente non reversibile.

Paragoniamo i due cicli, ossia: quello reversibile fatto con una graduale e continua dilatazione e compressione, con quello fatto mediante una dilatazione in un mezzo avente una pressione inferiore a quella del gas ed una graduale e continua compressione. Avremo pel primo caso, indicando con :aQ la quantità di calore ricevuto ùall'esterno nella dilatazione elementare, e con dQ' il ca-lore versato all'esterno nella compressione elementare,

Nel secondo caso avvenendo l'espansione in un mP.zzo di debole pressione, si avra che la quantita di calore guadagnata dal gas d₁ Q sarà inferiore a d Q, per cui

quindi

Ossia

pel ciclo reversibile, ed (aQ

jT <O

pel ciclo non reversibile.

APPLICAZIONE AI GAS PERMANENTI.

29. Definizioni.- I gas sono distinti per la perfetta mobilità delle loro molecole, le quali tendono continua-mente ad allontanarsi le une dalle altre.

Non possiamo quindi farci un'idea del volume dei gas senza supporli entro un vaso, o recipiente, sulle cui pareti esercitino una pressione uguale [alla loro forza elastica o tensione.

La pressione di un gas si intende' riferita alla unità di superficie del vaso che lo contiene, o del corpo che in esso si trova collocato.

Gaz permanenti sono quelli che alle ordinarie pres-sioni. e temperature non cambiano di stato.

30. Equazione di stato. - Le equazioni di stato dei gas si determinano coll'ajuto delle leggi di Mariotte e di Gay-Lussac, talchè si possono detìnire i gas: quei corpi che soddisfano alle leggi di Mariotte e di Gay-Lussac.

La legge di Mariotte è la seguente:

Nei gas permanenti a costante temperatura i volumi sono inversamente proporzionali alle pressioni ossia in generale

pv={(T), essendo t('r) variabile da gas a gas.

La legge di Gay-Lussac è la seguente:

A costante pressione gli aumenti di volume sono proporzionali agli aumenti della temperatura, ossia

T=cp(p). v

Queste due leggi si ricavano immediatamente dal principio già esposto che il calore consiste in un moto vibratorio delle molecole e degli atomi. Se i gas ten"

dono continuamente ad espandersi vuol dire (come ab-biamo già fatto osservare) che non vi è alcun vincolo fra le molecole, e che tutto il calore ad essi comuni-cato va ad aumentare la forza viva dell'interno moto vibratorio (sempre nella supposizione che non si eser-citi alcun lavoro esterno). Ora la pressione contro le pareti che racchiudono i gas non è altro che la somma degli urti delle molecole. Deve quindi essere propor-zionale al numero delle molecole urtanti le quali sono in ragione diretta della densità ed inversa del volume.

Si ha in ciò la dimostrazione della legge di Mariotte.

Fra le pareti del vaso e le molecole del gas vi è un continuo scambio di energia e di moto vibratorio, ossia, nella permanenza, la forza viva delle molecole od atomi del vaso deve essere uguale alla forza· viva degli atomi del gas. La pressione che pareti e gas esercitano mu-tuamente è proporzionale alla forza viva, ossia, come si vide, alla temperatura; e ciò viene a conferma della legge esposta da Gay-Lus,sac. ·

La combinazione delle due leggi di Mariotte e di Gay-Lussac ci conduce alla equazione

(17) p V=R·

in cui R è una costante. Per l'aria atmosferica

Per un altro ,gas

R=29.27.

R= 29.27

~

essendo lì la densità, poichè ad uguali temperature e sotto uguali volumi le pressioni di due differenti gas sono in ragione inversa della densità.

Per aria atmosferica in medio stato di umidità il Grashof dà l'equazione di stato

29.27 R=

---,;::----=-3 pl

+ -

-~ p

in cui p₁ ·è la pressione del vapore nell'aria umida e p è la pressione totale.

Per P,

-=0.01 p

R=29.38.

31. Calore specifico dei gçts. - Come abbiamo già esposto, la quantità di calore necessaria per elevare di l o la temperatura di un gas, mantenendo costante la pressione, si dice calore specifico a pressione costante e si indica con la lettera cp. '

Il calore necessario per ottenere lo stesso effetto, mantenendo costante il volume, dicesi calore specifico a volume costante e si indica con cv.

Supponiamo di avere due volumi di gas nel mede-simo stato p, v, t. Uno di questi si riscaldi a pressione costante e l'altro a volume costante in modo da au-mentare la loro temperatura di 1°.

142 CALORICO, CALORE

L'energia finale dei gas sarà la stessa poichè entrambi si trovano alla medesima temperatura, quindi si dovrà ( 18) avere l'equazione

Cp R

= 1 +

-Cv Acv

Cp=Cv + -p(vl ₁-v) A

essendo V1- v la variazione nel volume per far crescere a pressione costante p la temperatura di l ⁰•

Dall'equazione (17) si ricava _s_:_=l+~.

Cv A Cv T

Analizzando la frazione del secondo termine dobbiamo osservare che la pressione, dietro quanto si disse, è pro-porzionale alla densità ed alla energia totale, mentre il volume ·è inversamente proporzionale alla densità, quindi il numeratore è indipendente dalla densità e soltanto proporzionale alla energia. Al denominatore, poi, il prodotto cvT non è altro che la quantità totale di calore conte n uta nel corpo , quindi A cv T rappre-senta la energia; perciò la frazione A ~~v deve essere una costante ed il rapporto fra i calori specifici a pres-sione ed a volume costante deve essere indipendente dalla natura del gas.

Sostituendo -a pTv il valore R si ha:

e mettendo R e cv i valori relativi dell'aria atmosferica

_9:_

=

^1.4098.

Se

siccome si ha

si ricava

Cv

-R = 0.4098, A c,

29.27 R = -_;y A=424,

29.27

Cu= - - - -

--424 .

o .

^{4098 . ;y}

0.1684

Cv=- -;y

-0.2375

C p = - - : y - - ·

Tavola dei calori specifici dei gas a pressione e volume costante.

Aria Azoto.

Ossigeno.

Idrogeno.

Acido carbonico

32. Energia dei gas. - Si ha

-dV=~d1' A Cv

=

- d ( pv).

R Integrando si ha :

( 19)

V=

~ . cv(T 1 -rr)

=A R l Cv (p1V1-pv).

Densità

l . -0.97137 1.10563 0.06926

R ^{C p} Cv

29.272 0.23751 0.16847 30.134 0.24380 0.17273 26.475 0.21751 0.15507 422.612 3.40900 2.41226 0.2479 0.1758

l

^d

^Q=R

l ^{(c,vdp ~Cpp dv)}

l

(20)

=cvdT +Apdv

\ =CpdT-Avdp.

C p Cv

1.4098 1.4114 1.4026 1.4132 1.4101

34. Cambiamento di stato di un gas a temperatura

Nel documento ARTI . E INDUSTRIE (pagine 140-143)