Voltmetri a integrazione semplice

Abbiamo gi`a citato il nome integrazione, indicando il tipo di voltmetri digitali che tratteremo; cerchiamo di meglio chiarire il concetto dietro a questo nome, al fine di capire come progettare un voltmetro a singola integrazione, e poi evolverci.

Il concetto `e semplice: un circuito come quello descritto in precedenza, parlando di S/H: un convertitore tensione/frequenza, basato sulla carica di un condensatore con una corrente prodotta dalla tensione (costante) incognita; una volta caricato del tutto il condensatore, raggiunta nella fatispecie una certa soglia, si inizia a svuotare con uno svuotamento costante (tenendo conto che nel mentre continua anche a riempirsi, con il principio di prima; lo svuotamento prevale comunque sul riempimento, altrimenti non avrebbe senso). Una volta tornati sotto soglia, e raggiunto di nuovo il livello regolare, si stoppa il processo di svuotamento; quando ricaricato si ri-riempie, poi si ri-svuota, e cos`ı via.

All’inizio il circuito integratore integra solo la V_x, che per`o passa dal com-paratore di soglia, il quale rileva il valore integrato; questo viene retroazion-ato e sommretroazion-ato a V<sub>x</sub>, in modo da continuar a integrare una quantit`a sempre maggiore; il comparatore di soglia ad un certo punto sentir`a il fatto che la tensione ha caricato troppo il circuito, e quindi inizier`a a far s`ı da svuotare il condensatore.

Possiamo provare a interpretare come segue il tutto: l’integratore, cuore del circuito, riempie una sorta di vasca, rappresentata dal condensatore, ed il comparatore di soglia, guardando quanto la vasca `e piena, ordina di portar via dell’acqua e gettarla fuori dalla vasca (nel nostro circuito, svuotare il condensatore togliendovi carica).

Si noti che l’impulso scaricante il condensatore ha ampiezza e durata a noi noti, poich`e queste sono caratteristiche intrinsiche dei dispositivi utilizzati nel circuito; definiamo ora le grandezze, al fine di poter quantificare in modo pi`u formale tutto ci`o che abbiamo detto.

Il processo di integrazione dura per un periodo T , durante il quale si con-tinua in pratica ad integrare (come nella normale operazione di integrazione) la tensione Vx (utilizzando il circuito prima descritto). Dopo il periodo T , periodo che il condensatore impiega per caricarsi, e quindi istante in cui il comparatore di soglia si accorge dello stato del condensatore, parte un im-pulso di durata T0 ed ampiezza E0 che sottrae tutta la carica introdotta nel condensatore fino a riportarlo allo stato iniziale.

Poich`e il circuito `e basato su di un amplificatore operazionale, sappiamo che ha due morsetti di ingresso, e che ha un guadagno A → +∞; la tensione tra il morsetto di + e quello di − `e vicina a 0 V; l’impedenza in ingresso, ossia l’impedenza vista dai morsetti di ingresso, tende a infinito. Si pu`o dunque creare una maglia, che `e interrotta: tra i due morsetti di ingresso infatti c’`e un taglio, ma al contempo c’`e una differenza di tensione nulla; possiamo dunque dire che:

I_R= ^Vx

R

La corrente I_R va dunque tutta nel condensatore, ed `e costante. La tensione ai capi di C, per definizione di tensione ai capi del condensatore, sar`a pari a: V_C(t) = ^Q(t) C ⁼ 1 C Z T I_R(t)dt = ¹ C Z T V_x R^{dt = f rac1RC} Z T V_xdt

Il comparatore di soglia `e basato, come l’integratore, sull’uso di un op-erazionale; in un operazionale, si hanno due zone di saturazione, separate

idealmente da una discontinuit`a tipo salto, la cui pendenza infinita `e giustifi-cata dal guadagno A → ∞. Quando dunque si ha l’evento di commutazione, il comparatore salta, e questo salto permette di inviare un impulso indicante il fatto che la tnesione abbia raggiunto una certa soglia.

Possiamo dunque scrivere che: 1 R1C Z T V_xdt = ¹ R2C Z T0 E₀dt

Poich`e i DVM come gi`a detto lavorano solo con tensioni continue, V_x sar`a una costante rispetto al tempo t; E0 invece `e l’impulso da noi stabilito in grado di svuotare il condensatore, e di fatto si pu`o rappresentare come un’onda quadra la cui parte alta ha durata pari a T<sub>0</sub>. Poich`e anche E₀ `e costante, dunque, possiamo integrare, ottenendo:

V_x R₁^{T =}

E₀ R₂^T0

Modificando leggermente questa formula, possiamo ricavare un’espres-sione mediante la quale `e possibile misurare indirettamente la tenun’espres-sione V_x:

V_x = E₀^T0 T R₁ R₂ ^{= E0T0} R₁ R₂^f

Dove la frequenza f identifica la durata degli impulsi T0:

f = ¹ T

Si suol semplificare, introducendo un termine K come costante strumen-tale:

E0T0R1

R₂ ^{, K}

Incertezze di misura del voltmetro ad integrazione semplice Poich`e disponiamo della funzione:

V_x = g(f )

Possiamo, a partire da essa, ricavare i contributi di errore del nostro DVM. Possiamo catalogarli, dividendo dunque le fonti di incertezza in diversi contributi:

• Incertezza sull’ampiezza dell’impulso di scarica, E₀:

δE₀ E0

• Incertezza sulla durata dell’impulso di scarica, T₀:

δT0

T₀

• Incertezza sulle resistenze con le quali si costruisce il circuito: si noti che

queste resistenze, molto spesso, sono matched (ossia unite): si pu`o con-siderare di esse direttamente l’incertezza del rapportro delle resistenze, anzich`e due contributi di incertezza separati, poich`e possono essere fornite con valori di incertezza tra loro correlati;

• Incertezza sulla frequenza dei campioni; essa dipende sia

dall’accuratez-za con la quale sono definiti i campioni, sia dal numero di conteggi (errore di quantizzazione intrinseco del contatore):

δf f ⁼ δfc f_c ⁺ 1 n

Fino a qua abbiamo considerato cause di incertezza non consideranti even-tuali non idealit`a del circuito realizzato; alcune cause di non idealit`a del circuito, introducenti un ulteriore contributo di incertezza, sono:

• Eventuali offset sulla tensione prodotta dall’integratore: l’integratore `e

basato come sappiamo su di un operazionale; se l’operazionale `e ideale, la tensione tra i morsetti `e 0 V; poich`e il mondo non `e per`o ideale, la tensione tra il + ed il − `e non nulla, e quindi questo offset pu`o creare incertezza sui nostri risultati;

• Offset sui comparatori di soglia: eventuali offset dei comparatori di

soglia, introducenti incertezza dunque sull’offset, non possono cam-biare la frequenza, ossia non introducono, sulla frequenza, un’ulteriore incertezza;

• Cattiva definizione della tensione di soglia del comparatore: come il

Reiezione del rumore

Un effetto finora non considerato che potrebbe effettivamente provocare un notevole disturbo, `e il rumore presente sulla soglia: esso potrebbe effettuare una modulazione sul periodo degli impulsi, e quindi variare la frequenza. Cerchiamo di capire se c’`e del rumore, e che contributi esattamente ci fornisce: un rumore, su di una misura media di periodo, fornisce un contributo pari alla sua area mediata nel periodo T_m, e dunque fornisce un contributo pari alla sua media, alla sua continua. Una volta valutato il tipo di rumore, e l’area dell’impulso, possiamo cercar di effettuare una reiezione del rumore dalla nostra misura, in modo da eliminare questo tipo di incertezza.

Se abbiamo a che fare con un rumore di tipo impulsivo, ossia che colpisce, nel dominio del tempo, solo singoli attimi di tutto il segnale, allora, da-ta A la sua ampiezza, e T_m il tempo sul quale si effettua la misura media di periodo del segnale, la componente continua equivalente al rumore sar`a semplicemente:

A T_m

Non esistono per`o solo rumori di tipo impulsivo: esistono rumori in un certo senso determinati, in grado di mantenere una certa ciclicit`a: esempio di questi sono i rumori sinusoidali. La cosa interessante `e che per`o le sinusoidi sono sostanzialmente segnali a media nulla, su di un loro periodo; se siamo capaci di trovare una condizione in grado di sfruttare questa cosa, possiamo eliminare il rumore introdotto da segnali di questo tipo. Dovremo lavorare, al fine di ridurre il rumore, sul tempo misurato T_m, relazionandolo con la frequenza del segnale di rumore. Possiamo intuire facilmente che, avendo a che fare con sinusoidi, il valor medio pi`u elevato si otterr`a se il Tm si fermer`a a met`a del periodo di un segnale di rumore sinusoidale: in questo modo, la media del rumore sar`a massima, e quindi introdurr`a un grosso discostamento da ci`o che vorremmo misurare. Data sinusoide di ampieza Asc, e periodo Td:

T_m = (2k + 1)^Td 2 Sar`a senza dubbio il caso di worst case.

Quello che dovremo fare, `e utilizzare come tempo di misura T<sub>m</sub> un mul-tiplo del periodo del rumore Td; tra poco esporremo un esempio pratico, dopo aver introdotto un formalismo in grado di quantificare la reiezione al disturbo: il nostro scopo `e valutare l’area del rumore, calcolarne la contin-ua equivalente, e cercare di eliminarla. Possiamo utilizzare quello che in analisi si chiama teorema della media integrale, e mediante esso definire la caratteristica di reiezione al disturbo come:

RN = V0 · 1 T_m Z Tm Vdsin(2πfdt)dt ¸

Dove f_d si definisce come il reciproco del periodo di rumore, T_d.

Supponiamo di aver a che fare ad esempio con il pi`u classico dei disturbi: quello di rete (poich`e la rete elettrica `e alimentata mediante un’alternata a 50 Hz); volendo eliminare ad esempio il disturbo di rete, dovremo lavorare con un multiplo dell’inverso di 50 Hz, e quindi almeno con:

1

50 Hz ^{= 20 ms}

Il tempo T_m dovr`a essere pari a 20 ms o ad un suo multiplo.