Voltmetri numerici a doppia integrazione

1 T_m Z Tm Vdsin(2πfdt)dt ¸

Dove f_d si definisce come il reciproco del periodo di rumore, T_d.

Supponiamo di aver a che fare ad esempio con il pi`u classico dei disturbi: quello di rete (poich`e la rete elettrica `e alimentata mediante un’alternata a 50 Hz); volendo eliminare ad esempio il disturbo di rete, dovremo lavorare con un multiplo dell’inverso di 50 Hz, e quindi almeno con:

1

50 Hz ^{= 20 ms}

Il tempo T_m dovr`a essere pari a 20 ms o ad un suo multiplo.

4.2.2 Voltmetri numerici a doppia integrazione

I voltmetri numerici a integrazione doppia rappresentano un’evoluzione rispet-to ai precedenti a singola integrazione, anche se c’`e qualche differenza sulle idee di fondo sfruttate dall’uno e dall’altro: se prima convertivamo una ten-sione in una frequenza, ora, sempre mediante il principio di integrazione (ed un circuito un po’ pi`u complicato), convertiamo una tensione in un intervallo di tempo, misurato mediante il conteggio degli impulsi di un oscillatore al quarzo.

Il principio di funzionamento `e il seguente: consideriamo il processo di misura diviso in due sostanziali fasi, dove effettueremo due operazioni del tutto duali tra loro:

• In un primo tempo integriamo una tensione a noi incognita, V_x, per un certo tempo campione, Tc; questo lo si far`a considerando anche la costante di tempo introdotta dal circuito, τ = RC, ottenendo dunque una quantit`a di carica proporzionale alla V_x:

Q(T_c) = ¹

RC

Z

Tc

V_xdt

• Una volta trascorso il periodo Tc, effettuiamo un’operazione duale: a partire dal valore di carica Q(T_c), che sar`a stato accumulato in un condensatore, introduciamo nel circuito una V<sub>r</sub>, ossia una tensione di riferimento a noi nota con polarit`a inversa alla Vx; dopo un certo peri-odo T_x, che dovremo misurare, l’effetto dell’integrazione della V_r avr`a portato a 0 il numero di cariche contenute all’interno del condensatore. La durata del tempo di scarica, Tx, sar`a proporzionale alla carica che la

tensione incognita V_x ha introdotto nel circuito durante il tempo cam-pione T_c, e dunque potremo misurare indirettamente V_x; il processo di integrazione di V_r vale: 1 RC Z Tx Vrdt

Da queste ipotesi preliminari, possiamo capire semplicemente che l’inte-grazione della tensione incognita equivale all’intel’inte-grazione della tensione nota, dal momento che il risultato finale `e quello di partire da una carica nulla e tornare ad una carica nulla. Possiamo dire, poich`e sia Vxche Vr sono tensioni costanti, che: 1 RC Z Tc V_xdt = ^Vx RC^Tc 1 RC Z Tx V_rdt = ^Vr RC^Tx

Poich`e le due sono uguali tra loro:

V_x RC^Tc= V_r RC^{Tx =⇒ Vx = Vr} T_x T_c

Lo schema a blocchi non sar`a cos`ı diverso dal precedente, se non un po’ pi`u elaborato.

Il circuito `e realizzato in modo da non far intervenire la costante di tempo

τ ; in questo modo, i calcoli si semplificano notevolmente. La tecnica di misura

del periodo `e quella di misura diretta, analizzata precedentemente parlando di misure di frequenza; dati N_xil numero di impulsi contati durante il periodo incognito dal nostro oscillatore al quarzo, e Nc il numero di impulsi contati durante il periodo noto, dal momento che:

Tc' Nctc; Tx ' Nxtc

Dove t_c `e il periodo base dell’oscillatore al quarzo, allora possiamo dire che:

V_x ' V_r^Nx Nc

Ci`o `e molto interessante poich`e, ai fini della sola determinazione del valore misurato, non ci `e necessario conoscere con esattezza la frequenza fc dell’oscil-latore al quarzo, dal momento che siamo riusciti a ricondurre la misura di

tensione V_x semplicemente al conteggio di eventi, senza disporre di altri dati (se non la tensione di riferimento V_r).

Si noti che il fatto che abbiamo potuto eliminare la dipendenza dalla frequenza dell’oscillatore al quarzo f_c nella nostra relazione ci permette di eliminare un termine di incertezza, rendendo gi`a questa tecnica preferibile, in fatto di accuratezza, rispetto a quella basata sull’integrazione semplice; altro contributo di incertezza che scompare, `e quello relativo alle costanti di tempo τ , e quindi al resistore R e al condensatore C.

Risoluzione del DVM a doppia integrazione

Riprendendo semplicemente la formula appena introdotta:

V_x ' V_r^Nx Nc

Possiamo quantificare la minima variazione presentabile dallo strumento, ∆Vx, come:

∆V_x ' ^|Vr| N_c ^'

|V_x| N_x

Passiamo ora alla stima delle incertezze.

Stima delle incertezze del DVM a doppia integrazione Dalla solita relazione di partenza,

Vx ' VrNx

N_c

Si pu`o ricavare che l’incertezza relativa sulla misura di V_x, stimata medi-ante un modello di worst case, derivi da:

ε_Vx = ¯ ¯ ¯ ¯^δV_V^x x ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯^δV_V^r r ¯ ¯ ¯ ¯ + _N¹ c + ¹ N_x

Ossia consideriamo, oltre ai contributi dell’errore dettato dalla cattiva determinazione del campione Vr, anche gli errori di quantizzazione introdotti dall’operazione di contare gli impulsi. Possiamo in effetti fare di meglio: poich`e la prima parte del tempo di integrazione (T<sub>c</sub>) `e nota, possiamo scegliere di sincronizzare l’avvio dei conteggi con lo start dell’integrazione, in modo da eliminare di fatto l’indeterminazione su N_c. Di fatto, quindi, potremo eliminare il termine relativo a N_c, ottenendo semplicemente:

εVx = ¯ ¯ ¯ ¯^δV_V^x x ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯^δV_V^r r ¯ ¯ ¯ ¯ +_N¹ x

Da un’analisi circuitale, come nel caso di voltmetro a singola integrazione, `e possibile determinare un insieme di altri parametri in grado di aumentare l’incertezza dello strumento. Questi sostanzialmente sono del tutto identici a quelli prima introdotti nel caso di integrazione semplice, pi`u uno extra: poich`e questo tipo di circuito `e pi`u elaborato rispetto ai precedenti, potrebbe farsi sentire in misura maggiore la sua inerzia, la sua latenza, e quindi la non idealit`a dei componenti elettrici potrebbe introdurre ritardi tra operazioni che dovrebbero in realt`a essere sincronizzate.

Reiezione del rumore

Come anche il voltmetro a singola integraziome anche in questo ambito si pu`o aver a che fare con rumori, in grado di aumentare l’indeterminazione della misura. In realt`a per`o rispetto a questo caso non c’`e molto da aggiungere: ai fini di introdurre la reiezione, `e sufficiente far s`ı che il tempo di misurazione,

T_m = T_c+ T_x, sia un multiplo del periodo del disturbo, T_d.