Prove Parziali del Corso di Analisi Matematica 1 a.a. 1991/2017

(1)

Analisi 1 Polo di Savona

Analisi Matematica 1

Prove Parziali

(2)

Analisi 1 Polo di Savona Prima Prova Parziale 91/92

Prima Prova Parziale 91/92

Si consideri la successione definita da ( an+1= a2 n+ 1 an a0= 2

A Stabilire sean `e crescente o decrescente e giustificare brevemente l’affermazione.

B Stabilire seanammette limite, in caso affermativo determinarlo ed in caso negativo provare che il limite

non esiste.

C Determinare estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo dian.

supan= infan = maxan = minan=

D Determinare una formula di ricorrenza per la successione bn=a2n

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione:

f (x) = x + 1 x2_{− 3x + 2}

<A> Determinare il campo di definizioneI di f ; Determinare l’insiemeJ in cui f `e derivabile; <C> Disegnare il grafico dif

<D> Stabilire se f `e decrescente su (−∞ , −1 −√6] e su [−1 + √6 , +∞) e giustificare brevemente l’affermazione.

<E> Stabilire sef `e invertibile su [−1 −√6 , 1) ∪ [−1 +√6, 2) e calcolare f−1

<F> Dopo aver verificato chef `e invertibile su (2 + ∞), detta g l’inversa, stabilire se g `e derivabile e calcolare g0₍₂₎

<G> Determinare il rango dif

<H> Calcolare, se esiste, lim

x→0

ex_{− 1 − x − sin(x)}

x2

Calcolare, se esiste, _dxdxsin(x)

(3)

Analisi 1 Polo di Savona Seconda Prova Parziale 91/92

Seconda Prova Parziale 91/92

Si consideri il problema di Cauchy

y0_{(x) = (ln x)(1 + y}2_(x))

y(x0) =y0

<A> Discutere brevemente esistenza ed unicit`a della soluzione al variare di (x0, y0) ∈ R2

Stabilire crescenza e decrescenza della soluzione al variare di (x0, y0) ∈ R2, giustificando brevemente le

affermazioni

<C> Calcolare la soluzione corrispondente ai dati inizialix0= 1,y0=π precisandone il campo di definizione

e giustificando brevemente le affermazioni

<D> Disegnare il grafico di tutte le soluzioni della equazione data

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ Si consideri la funzione: f (x) = Z x 0 dt p|t2_{− 1|(t − 1)(t + 3)}

<E> Determinare il campo di definizioneI di f giustificando brevemente le affermazioni

<F> Determinare l’insieme J in cui f `e continua giustificando brevemente le affermazioni

<G> Determinare l’insiemeK in cui f `e derivabile giustificando brevemente le affermazioni

<H> Disegnare il grafico dif

Calcolare

Z +∞

0

(4)

Prima Prova Parziale 92/93

<A> Disegnare l’insiemeA = {(x, y) ∈ R2_:_{y(x + 1) + x ≥ 0}}

Disegnare l’insiemeB = {(x, y) ∈ R2_:_{y(x + 1) + x ≥ 0, y ≥ x}}

<C> Disegnare l’insiemeCa,b= {(x, y) ∈ R2:x ∈ [a, b], y ∈ [a, b], x ≤ y}

<D> Determinare tutti gli_{a, b ∈ R tali che C}a,b⊂ B

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si considerif (x) = x + 1 x2_{+ 3}_{x + 3}

<E> Disegnare l’insiemeA = {(x, y) ∈ R2_:_{x ≤ y, f (x) ≥ f (y)}}

<F> Trovare per qualia, b ∈ R x, y ∈ [a, b], x ≤ y =⇒ f (x) ≥ f (y) <G> Trovare per quali_{a, b ∈ R x, y ∈ [a, b], x ≤ y} =⇒ f (x) ≤ f (y) <H> Disegnare il grafico dif

Determinare supf , inf f , max f , min f <J> Disegnare il grafico dig(x) = f (x − 1)

<K> Determinare D = {x ∈ R : g(x) ≤ x} e disegnare i grafici di x e g(x) sullo stesso piano cartesiano precisandone le mutue posizioni.

<L> Provare che la successione definita da an=g(an−1)

a0= 1

`

e decrescente, inferiormente limitata e trovarne il limite.

LA1 an`e inferiormente limitata infatti:

LB1 an`e decrescente infatti:

(5)

Seconda Prova Parziale 92/93

Si consideri l’equazione differenziale

y0(x) = x sin y(x)

<A> Stabilire per quali valori x0 ed y0 esiste ed `e unica la soluzione del problema di Cauchy associato

all’equazione assegnata ed al valore inizialey(x0) =y0

Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 0 e disegnarne il grafico. <C> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 2 e disegnarne il grafico. <D> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione tali chey(0) = 4 e disegnarne il grafico.

<E> Trovare tutte le soluzioni dell’equazione e disegnarne il grafico.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ Si consideri la funzione f (x) = Z +∞ sin x ln(t − 1) t2 dt

<F> Determinare il campo di definizione della funzione assegnata <G> Studiare il segno dif

<H> Studiare la crescenza dif Calcolare lim

x→+∞f (x)

(6)

Prima Prova Parziale 93/94

Si consideri, al variare dik ∈ R, la funzione

fk(x) = x3E(arctan x) + kx2

oveE indica la funzione parte intera. <A> Disegnare il grafico dif0,f1 ef2.

Stabilire se `e possibile trovarek in modo che fksia continua su R e giustificare brevemente l’affermazione.

<C> Determinarek in modo che fk sia monotona in [−2, 0].

<D> Determinare l’inversa difk per i valori dik determinati precedentemente precisandone dominio e rango.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la successione definita per ricorrenza mediante la (a_n+1=a_na_n−1

a0= 1

a1= 2

<E> Determinare una regola di ricorrenza e i primi due termini di una successionekn in modo che

an= 2kn

<F> Determinare i due valorit = λ e t = µ in corrispondenza dei quali kn=tnsoddisfa la regola di ricorrenza

determinata nel punto precedente perkn.

<G> Verificare chekn =αλn+βµn soddisfano la regola di ricorrenza trovata precedentemente.

<H> Determinareα e β in modo che

k0= 0 k1= 1

Trovare una espressione esplicita dikn ean, in funzione di n

(7)

Seconda Prova Parziale 93/94

Si consideri fh(x) =    0_x x < 0 h 0 ≤x ≤ h 1 x > h e l’equazione differenziale lineare

y0_{(x) = f}

h(x)y(x) + kx

ovek ∈ R.

<A> Trovare tutte le soluzioni definite perx < 0 Trovare tutte le soluzioni definite per 0< x ≤ h <C> Trovare tutte le soluzioni definite perx > h <D> Trovare tutte le soluzioni definite perx ∈ R

<E> Precisare la struttura dell’insieme delle soluzioni definite su R

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ Si consideri f (x) = (₀ _{x ≤ 0} 1 0< x ≤ 1 −2 x > 1 ed F (x) = Z x f (x) sin4(t − 3) |t − 3|p|t − 2|dt <F> Determinare il campo di definizione di F .

<G> Studiare segno, crescenza e decrescenza diF .

<H> Studiare i limiti diF agli estremi del campo di definizione precisando se sono finiti o infiniti. Calcolare, dove esiste,F0_(x)

(8)

Prima Prova Parziale 94/95

Si consideri la successione definita da (

an+1= −

an

n(n + 3) a1= 1

<A> Provare che

an= (−1)n−1

6 (n − 1)!(n + 2)!

Determinare al variare diα, β ∈ R una espressione esplicita della successione (

bn+1=α

bn

n(n + 3) b1=β

<C> Verificare che la successionebn `e infinitesima di ordine superiore axn ∀x ∈ R+

<D> Stabilire se le successionicn tali che

cn+1=

cn

n(n + 3) formano uno spazio vettoriale.

<E> Determinare, se possibile, la dimensione dello spazio vettoriale di cui al punto precedente.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la funzione definita da

f (x) = 1 xα E(x) X k=0 k ove conE(·) si `e indicate la parte intera ed α ∈ R+.

<F> Determinare il campo di definizione di f e calcolare f (n) per ogni n ∈ N <G> Verificare che sen ≤ x < n + 1 si ha

f (x) ≤ 1 nα

n(n + 1) 2 <H> Stabilire per qualiα ∈ R+f `e decrescente su R+

Disegnare il grafico dif su [1, 4]

<J> Perα = 3 disegnare il grafico di f su R+ e calcolare

lim

(9)

Seconda Prova Parziale 94/95

Si consideri il problema di Cauchy    2 ˙x(t) = −x(t) + 2y(t) ˙ y(t) = y(t) + z(t) 2 ˙z(t) = 2z(t) + x(t)

<A> Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del sistema dato Determinare tutte le soluzioni del sistema

<C> Scrivere una matrice fondamentale del sistema

<D> Trovare tutte le soluzioni del sistema non omogeneo ottenuto in corrispondenza del termine noto

B(t) =   1 0 2  

<E> Trovare le soluzioni del sistema omogeneo tali che x(0) = y(0) e precisare la dimensione dello spazio vettoriale da esse generato.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri il problema di Cauchy    y0(x) = e −x2 p|1 − x2_| y(x0) =y0

<F> Determinare i valorix0, y0∈ R per i quali il problema assegnato ammette soluzione e studiarne l’unicit`a.

<G> Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai valori x0 = y0 = 0 precisandone il campo di

definizione

<H> Disegnare il grafico della soluzione che corrisponde ai valorix0= 2 y0= 0 precisandone il campo di

definizione

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema assegnato.

(10)

Prima Prova Parziale 95/96

Si consideri la funzione

f (x) = (sin(x) − 1)2_{+ 4}

<A> Determinare una funzioneg in modo che f (x) = g(sin x)

Studiare crescenza e decrescenza di g, successivamente disegnarne il grafico e dedurne crescenza e decrescenza dif .

<C> Disegnare il grafico dif

<D> Disegnare con cura il grafico dif su [0, 5] Determinando maggioranti e minoranti, estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo dif su [0, 5]

<E> Verificare chef `e strettamente crescente in [π/2, π] e calcolare l’inversa di f ristretta a tale intervallo

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§ Si consideri la successione an+1= an n a0=k 2

<F> Provare chean `e decrescente

<G> Provare chean ammette limite finito e calcolarlo

<H> Calcolare

lim

x→0

sin(x2_{) −}√_x

4e√x_{− 1}

Determinare l’ordine di infinitesimo in 0+ di sin(x2_{) −}_x

<J> Stabilire per quali valori diα la funzione

sin(x2_{) −}√_x

4(e√x_{− 1)}α

(11)

Seconda Prova Parziale 95/96

Si consideri la funzione f (x) = Z x −∞ 1 (et_{− 1) ln(1 + t}2₎dt

<A> Determinare il dominio dif e calcolare i limiti agli estremi del campo di definizione

Calcolare la derivataf0 _{e studiare crescenza e decrescenza di}_f

Si consideri g(x) = Z tan |x| −∞ 1 (et_{− 1) ln(1 + t}2₎dt <C> Disegnare il grafico dig <D> Determinare il rango dig

<E> Calcolare la derivata dig, precisando il suo campo di esistenza

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri il problema di Cauchy    y0(x) = e y(x)_{− 1} x y(x0) =y0

<F> Studiare esistenza ed unicit`a delle soluzioni del problema dato

<G> Determinare la soluzione perx0= 1, y0= 1

<H> Determinare la soluzione perx0= 1, y0= 0

Calcolarey00_{(1) per}_x

0= 1,y0= 1

(12)

Prima Prova Parziale 96/97

f (x) = x

2₊_{x + 1}

x + 1

<A> Studiare la funzioneg(x) = f (x) − x, disegnandone un grafico approssimativo.

Studiare crescenza e decrescenza dif , giustificando brevemente i risultati senza far uso di derivate. (Si possono utilizzare i risultati ottenuti nel punto precedente)

<D> Stabilire se f `e invertibile su [0, +∞) e determinare in caso affermativo la sua inversa disegnandone inoltre il grafico.

<E> Verificare usando la definizione che

lim

x→+∞f (x) = +∞

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri per ognin ∈ N

f (n) = n

2

n!

<F> Determinare

{n ∈ N : f(n) > f(n + 1)}

<G> Determinare estremo superiore e massimo di

n2 n! Siano α = 210 _{β = 10}10 _{f (x) = x}α_{+ 1} _{g(x) = log} βx <H> Disegnare il grafico dif e di g Disegnare il grafico dif (g(·)) <J> Disegnare il grafico dig(f (·))

(13)

Seconda Prova Parziale 96/97

f (x) =

( ₁

x2_{+ 1} x ≥ 0

ax + b x < 0 <A> Disegnare il grafico dif al variare di a, b ∈ R.

Determinare_{a, b in modo che f sia derivabile in R}

<C> Per i valori dia, b per cui f `e continua, determinare il pi`u grande valore dic in modo che f sia invertibile in (−∞, c]

Siano

g(x) = ex _{h(x) = ln x}

<D> Per i valori dia, b per cui f `e continua, disegnare il grafico di f (g(x)) f (h(x))

<E> Per i valori dia, b per cui f `e continua, disegnare il grafico di g(f (x)) h(f (x))

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

Si consideri la successione definita da

an+1=f (n) + an

a0= 1

dovef : R → [0 + ∞) `e una funzione continua. <F> Dimostrare chean≥ 0 ∀n ∈ N

<G> Dimostrare chean `e crescente

<H> Dimostrare che sean → ` ∈ R allora limnf (n) = 0

Calcolare limnan nel caso in cuif (x) = x

<J> Dimostrare che an= 1 + n−1 X k=0 f (k)

(14)

Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale 96/97

Terza Prova Parziale 96/97

Si consideri la funzione f (x) = Z x+1 1 x 2 p(t + 1)|t − 2|dt

<A> Determinare il campo di definizioneD di f .

Stabilire se esistono e se sono finiti i limiti dif agli estremi del campo di definizione.

<C> Stabilire dovef `e derivabile e calcolarne la derivata prima.

<D>

Tracciare il grafico dif senza tenere conto della derivata seconda.

§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§§

xy0_{(x) = y}2_{(x) − y(x)}

y(2) = k

<E> Determinare per quali valori dik il problema ammette una soluzione locale e studiarne l’unicit`a.

<F> Determinare la soluzione che corrisponde a k = 3, precisandone il campo di definizione.

<G> Determinare la soluzione che corrisponde ak = −1, precisandone il campo di definizione.

<H> Determinare la soluzione che corrisponde ak = 0.5, precisandone il campo di definizione.

Disegnare il grafico di tutte le soluzioni del problema dato.

<J> Disegnare il grafico delle soluzioni del problema di Cauchy xy0_{(x) = y}2_{(x) − y(x)}

y(0) = k

(15)

Prima Prova Parziale 97/98

Si consideri l’insieme A = x 2_{+ 3a} x2₊_a : x ∈ R Dovea ∈ R e a > 0.

<A> Determinare tutti i maggioranti diA. Determinare tutti i minoranti diA. <C> Determinare supA.

<D> Determinare infA.

<E> Stabilire seA ammette massimo o ammette minimo ed in caso affermativo trovarli. Si consideri l’insieme B = x y : x, y ∈ R , y 6= 0 <F> Determinare supB. <G> Determinare infB.

(16)

Seconda Prova Parziale 97/98

Si considerino le funzioni

f (x) =2x + 1

x + 3 g : [−4, 4] → [−1, 1] doveg si suppone strettamente crescente e surgettiva

<A> Disegnare il grafico dif ed il grafico di una possibile g. Disegnare il grafico dif (g(x).

<C> Disegnare il grafico dig(f (x)) <D> Disegnare il grafico di (f (x))2

<E> Disegnare il grafico dif (x2₎

<F> Calcolare l’inversa di f precisando dove f `e invertibile. <G> Provare per induzione che

n

X

k=1

(17)

Terza Prova Parziale 97/98

Si consideri la funzione f (x) =        x2_{cos(x) − x}2 xa x > 0 ex_{− b} 2x x < 0

<A> Al variare dia, calcolare

lim

x→0+f (x)

e stabilire sef `e prolungabile per continuit`a inx = 0 da destra Al variare dib, calcolare

lim

x→0−f (x)

e stabilire sef è prolungabile per continuità inx = 0 da sinistra <C> Al variare dia, b, stabilire se f è prolungabile per continuità inx = 0

f (x) =x + 1 x + 2 <D> Disegnare il grafico dif

Si consideri poi la successione definita da

an+1=f (an)

a0=a

<E> Determinare al variare di a gli eventuali limiti della successione an (Non `e necessario giustificare con

(18)

Analisi 1 Polo di Savona Quarta Prova Parziale 97/98

Quarta Prova Parziale 97/98

ATTENZIONE: la somma dei punti assegnati a ciascuna domanda è superiore a10; pertanto non è necessario rispondere a tutte le domande per ottenere il massimo voto. È opportuno tenere presente che la domanda B dipende dalla A e che la D dipemde dalla C. Inoltre la E non dipende da C e D.

I punti ottenuti oltre il10non saranno calcolati nella media ma costituiranno elemento di valutazione positiva in sede d’esame.

<A> Disegnare il grafico della funzione f (x) = ln(|x|) +1

x determinando il punto xm ed il valoref (xm) di

minimo relativo. Provare inoltre chef ammette un solo zero x0 e studiare il segno dif

Disegnare il grafico dig(x) = ex_{ln(|x|) precisando il segno di g(x} 0)

<C> Disegnare nello stesso piano i grafici di ln(x) e di x−1

e−1 e giustificare il fatto che ln(x) ≥ x−1

(19)

[−2, −1] (interpretare adeguatamente le unit`a di misura)

<D> Provare chex0∈ [−2, −1] (x0`e lo zero dif )

<E> Studiare usando la derivata seconda, la convessit`a dig (Riportare nel riquadro i grafici che si ritengono utili).

(20)

Analisi 1 Polo di Savona Quinta Prova Parziale 97/98

Quinta Prova Parziale 97/98

ATTENZIONE: L’esercizio pu`o essere svolto usando la funzione definita in (1) o la funzione definita in (2). Nel caso (2) il punteggio di ogni domanda `e diminuito di1.

I punti ottenuti oltre il10non saranno calcolati nella media ma costituiranno elemento di valutazione positiva in sede d’esame.

<A> Siaf una funzione derivabile infinite volte su R tale che

f0_{(x) = sin(f (x))} _{f (0) =}π

2

OPPURE

Siaf (x) = 2 arctan(ex₎

<C>

(1) PER IL CASO (1) Derivare entrambi i membri della (1) e ricavaref00 _{in funzione di}_{f ed f}0 _ed

f000 in funzione dif f0 edf00

(2) PER IL CASO (2) Calcolaref0_{(x), f}00_{(x), f}000_(x)

<D> Calcolaref (0), f0_(0), _f00_(0), _f000_{(0) e scrivere il polinomio di Taylor}_P

2 ed il polinomio di TaylorP3 di

f centrato in 0 di grado 2 e 3, rispettivamente.

<E> Disegnare il grafico diP2 e diP3per |x| ≤ 1

<F> SCONSIGLIATA PER IL CASO (2) Provare che |f0_{(x)| ≤ 1 |f}00_{(x)| ≤ 1 |f}000_{(x)| ≤ 2}

<G> Supponendo verificato che |f000_{(x)| ≤ 2 stimare il resto di Lagrange relativo al polinomio di Taylor di}

(21)

<H> Supponendo verificato che |f000_{(x)| ≤ 2, disegnare un maggiorante ed un minorante di f per |x| ≤ 1}

Supponendo verificato che |f000_{(x)| ≤ 2, determinare un maggiorante dell’errore commesso sostituendo}

f con P2per |x| ≤ 1/2.

<J> Trovare, se possibile,a in modo che f (x) − ax −π

(22)

Analisi 1 Polo di Savona Sesta Prova Parziale 97/98

Sesta Prova Parziale 97/98

Sia f (x) =            0 x < −1 − 1 p|x| −1 ≤ x < 0 2x − x2 _{0 ≤}_{x < 1} 1 x4 x ≥ 1

<A> Disegnare il grafico dif .

Disegnare il grafico diF (x) =Rx

0 f (t)dt

(23)

<D> Disegnare il grafico diR_−∞x f (t)dt

(24)

Analisi 1 Polo di Savona Settima Prova Parziale 97/98

Settima Prova Parziale 97/98

Sia

y0(x) = sin(y(x)) sin(x)

<A> Disegnare il grafico della soluzioney relativa al dato iniziale y(π/4) = π/4.

Disegnare il grafico della soluzioney relativa al dato iniziale y(π/4) = π/2.

(25)

<D>

(26)

Analisi 1 Polo di Savona Ottava Prova Parziale 97/98

Ottava Prova Parziale 97/98

Si consideri l’equazione

x3_y0_{(x) = y(x)}

<A> Determinare la soluzione dell’equazione data tale chey(1) = 1

Stabilire, per quali_{a ∈ R esistono soluzioni dell’equazione data tali che y(0) = a, e determinarle.} <C> Disegnare il grafico di tutte le soluzioni dell’equazione data.

y00_{(x) + 4y}0_{(x) + 2y(x) = e}2|x|

<D> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata. <E> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa su R+.

(27)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Prima Prova Parziale 97/98

Recupero Prima Prova Parziale 97/98

Si consideri l’insieme

A = n + 1

n − 1 : n ∈ N, n > 1

<A> Determinare tutti i maggioranti diA. Determinare tutti i minoranti diA. <C> Determinare supA.

(28)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Seconda Prova Parziale 97/98

Recupero Seconda Prova Parziale 97/98

Sia f : R → R una funzione strettamente decrescente, convessa e continua su [−1, 1), periodica di periodo 2, tale chef (−1) = 0

<A> Disegnare il grafico dif .

Stabilire sef deve essere o pu`o essere continua in R. <C> Stabilire sef `e invertibile su [−1, 3].

<D> Stabilire sef `e invertibile su [2, 3]. <E> Stabilire se esiste limx→+∞f (x)

(29)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Terza Prova Parziale 97/98

Recupero Terza Prova Parziale 97/98

Si consideri la funzione f (x) =    eax_{− b − cos(x)} x x 6= 0 c x = 0

<A> Determinarea, b, c, in modo che f sia prolungabile per continuit`a in 0 Determinarea, b, c, in modo che f sia derivabile in 0

<C> Calcolare f0₍_x)

(30)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Quarta Prova Parziale 97/98

Recupero Quarta Prova Parziale 97/98

Si consideri la funzionef (x) = arctan(x) + ln1 |x|

<A> Disegnare il grafico della funzionef

Stabilire sef `e invertibile in R+, ed i caso affermativo disegnare il grafico dell’inversa

<C> Scrivere la retta tangente al grafico della funzionef nel punto (1, π/4) <D> Calcolare (f−1₎0₍π

(31)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Quinta Prova Parziale 97/98

Recupero Quinta Prova Parziale 97/98

Siaf (x) = x + x2_{+ 2x}3_{+ (2 sin(x}5₎₎2

<A> Scrivere il polinomio di Taylor dif centrato in x = 0 di grado 2 Calcolaref0₍₀₎_f00_(0), _f(7)_(0), _f(10)₍₀₎

(32)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Sesta Prova Parziale 97/98

Recupero Sesta Prova Parziale 97/98

Sia

f (x) = 1 (t − 1)p(t + 2)3

e siaF (x) =R|x|+15x

x f (t)dt

<A> Determinare il campo di definizione diF

Studiare i limiti agli estremi del campo di definizione. <C> Stabilire doveF `e derivabile e calcolare la derivata di F

(33)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Settima Prova Parziale 97/98

Recupero Settima Prova Parziale 97/98

Sia

y0(x) = y2_{(x) − 1}

(34)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Ottava Prova Parziale 97/98

Recupero Ottava Prova Parziale 97/98

2p|x|y0_{(x) = y(x)}

<A> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione definite su R+

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione definite su R Si consideri l’equazione

y000_{(x) + y(x) = e}x

<C> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata. <D> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa.

(35)

Prima Prova Parziale 98/99

Si consideri la disequazione

x + 1 x − 1 ≤ a

<A> Determinare tutte le soluzioni della disequazione pera = 2.

Determinareα, β reali tali che

x + 1 x − 1 =α +

β x − 1

<C> Disegnare il grafico di _x−1x+1

<D> Risolvere la disequazione al variare dia nei reali.

<E> Trovare glia reali, se ne esistono, tali che

x + 1

(36)

Seconda Prova Parziale 98/99

A =

₁

x2₊_{x + 1} : x ∈ R

<A> Determinare i maggioranti diA e sup A

Determinare i minoranti diA e inf A

<C> Stabilire se esistono maxA e min A e calcolarli

<D> Provare che `e vera la seguente affermazione

(37)

Terza Prova Parziale 98/99

f (x) = ax

42_{− (x + b)}42

xc_arctan_x21

<A> Calcolare pera > 1, b > 0, c > 0

lim x→+∞f (x) = Calcolare pera = 1, b > 0, c > 0 lim x→+∞f (x) = <C> Calcolare perb > 0 lim x→0+f (x) = <D> Calcolare pera > 1, b = 0 lim x→0+f (x) =

(38)

Analisi 1 Polo di Savona Terza Prova Parziale Bis 98/99

Terza Prova Parziale Bis 98/99

f (x) = ax

63_{− (x + b)}63

xc_arctan_x63

<A> Calcolare pera > 1, b > 0, c > 0

lim x→+∞f (x) = Calcolare pera = 1, b > 0, c > 0 lim x→+∞f (x) = <C> Calcolare perb > 0 lim x→0+f (x) = <D> Calcolare pera > 1, b = 0 lim x→0+f (x) =

(39)

Quarta Prova Parziale 98/99

an+1= sin(an)

a0=a

<A> Pera = 3, verificare che an∈ (0, π)

Pera = 3, provare che an `e decrescente

<C> Calcolare pera = 3

lim

n→+∞an

(40)

Quinta Prova Parziale 98/99

f (x) = (x2_{+ 1) arctan(x) − 2x}

<A> Calcolaref0 _ed_f00

Disegnare il grafico dif0

<D> Scrivere il polinomio di Taylor di ordine 2 dif centrato in x0= 0

<E> Scrivere il resto di Peano ed il resto di Lagrange relativi al polinomio di Taylor di ordine 2 dif centrato inx0= 0

(41)

Sesta Prova Parziale 98/99

Si consideri la funzione f (x) = Z x 0 et2 3 √ 1 − et _{(t − 1)}√_{t + 2}dt

<A> Determinare il dominio dif .

Studiare la derivabilit`a dif . <C> Disegnare il grafico dif . <D> Disegnare il grafico di g(x) = Z |x| 0 et2 3 √ 1 − et _{(t − 1)}√_{t + 2}dt

<E> Calcolare la derivata di

h(x) = Z x2+2 x3 et2 3 √ 1 − et_{(t − 1)}√_{t + 2}dt

(42)

Settima Prova Parziale 98/99

y0(x) = e−y4(x)_{− 1}

y(x0) =y0

<A> Studiare esistenza ed unicit`a della soluzione del problema dato.

Determinare le soluzioni costanti dell’equazione e precisare i dati iniziali in corrispondenza dei quali si hanno soluzioni costanti

<C> Disegnare il grafico della soluzione relativa al dato inizialex0= 0 , y0= 1

(43)

Recupero Prima Prova Parziale 98/99

f (x) = ||x − 1| − 1|

<A> Disegnare il grafico dif

Determinare le soluzioni della disequazionef (x) ≤ 3

(44)

Recupero Seconda Prova Parziale 98/99

A = (−1)

n

n2₊_n : n ∈ N

<A> Determinare i maggioranti diA e sup A Determinare i minoranti diA e inf A <C> Calcolare

lim (−1)

n

(45)

Recupero Terza Prova Parziale 98/99

<A> Calcolare lim x→0 (sinx)2_{+ 1 −}_ex x3 = Calcolare al variare diα ∈ R lim x→0 (sinx)2_{+ 1 −}_ex xα =

(46)

Recupero Quarta Prova Parziale 98/99

an+1=

2an+ 1

an− 1

a0=a

<A> Studiare il comportamento della successione pera = 4, Studiare il comportamento della successione pera = −4,

(47)

Recupero Quinta Prova Parziale 98/99

f (x) = x2_ex₊_kx

k ∈ R <A> Disegnare il grafico dif0

Disegnare il grafico dif

(48)

Recupero Sesta Prova Parziale 98/99

Si consideri la funzione f (x) = Z x 1 1 √ t + 1(et_{− 1)}3dt

<A> Disegnare il grafico dif . Disegnare il grafico di g(x) = Z x2 1 1 √ t + 1(et_{− 1)}3dt

<C> Determinare il campo di definizione di

h(x) = Z x2+2 x2 1 √ t + 1(et_{− 1)}3dt

(49)

Recupero Settima Prova Parziale 98/99

y0_{(x) = 1 − y}2_(x)

y(x0) =y0

<A> Determinare la soluzione relativa al dato inizialex0= 0 ,y0= 1

(50)

Analisi 1 Polo di Savona Prova Iniziale Settembre 1999

Prova Iniziale Settembre 1999

Test di Autovalutazione

Vi preghiamo di svolgere attentamente ed individualmente il test che `e anonimo e ha un duplice scopo: 1) raccogliere dati sulla preparazione iniziale degli iscritti al primo anno, anche in relazione alla scuola di

provenienza, onde prevedere adeguate misure in grado di colmare eventuali lacune,

2) fornire un esempio significativo delle nozioni che si ritengono note e consentire una autovalutazione sul livello di conoscenza di tali nozioni.

Raccomandiamo un lavoro strettamente individuale che consenta a ciascuno di scoprire l’eventuale presenza di lacune, ricordando che, in nessun modo, la presente prova costituisce materia per valutazioni dell’allievo.

Vi preghiamo inoltre di annerire la casella a fianco delle domande per rispondere alle quali ritenete sia stata utile la frequenza dei precorsi.

Dati relativi alla provenienza dell’allievo Diploma di

conseguito presso la Scuola Sezione

con la votazione di /100

Iscritto al corso di Laurea / Diploma in nato nell’anno

Numero per consentire all’allievo l’identificazione della correzione

<A> Indicare a fianco di ogni polinomio la sua scomposizione 1) (a2_{− b}2_{) =}

2) (a4_{− b}4_{) =}

3) (ab − b2_{) =}

Calcolare la distanza tra i puntiP = (1, 2) e Q = (2, 1) nel piano cartesiano d(P, Q) =

<C> Calcolare la distanza tra i puntiP = (a, b) e Q = (b, c) nel piano cartesiano d(P, Q) =

<D> Scrivere a fianco di ognuna delle seguenti equazioni il luogo dei punti da esse identificato nel piano cartesiano.

(51)

Analisi 1 Polo di Savona Prova Iniziale Settembre 1999 1) x2₊_y2_{= 1} 2) 2x2₊_y2_{= 1} 3) x2_{− y}2_{= 1} 4) xy = 0 5) x + y2_{= 1} 6) xy = 1 <E> Calcolare 1) sin(π/3) = 2) sin(π/6) = 3) cos(π/4) = 4) sin(π/2) = 5) sin(2α) = 6) cos2_{α − sin}2_{α =}

<F> Identificare le affermazioni vere e quelle false 1) log₂4 = log₃9 VERA FALSA 2) log_ac = b ⇐⇒ b = ea _VERA _FALSA

3) log2(a + b) = log2(a) + log2(b) VERA FALSA

<G> Risolvere le seguenti equazioni 1) x2_{− 5x + 6 = 0}

2) a2_{+ 3ab + b}2_{= 0}

3) a2_{+ 3}_{ab = −b}2

<H> Se in un magazzino ogni oggetto fragile `e conservato in una scatola, `e vero che, in quel magazzino, ogni scatola contiene un oggetto fragile?

VERO FALSO

Se in un magazzino ogni oggetto fragile è conservato in una scatola, è vero che, in quel magazzino, se un oggetto non è in una scatola allora non è fragile?

(52)

<J> Risolvere la disequazione a_b > 0

<K> Risolvere l’equazione (x − 1)(x − 2)(x − 1/3) = 0

<L> Sex2_{> 9 allora}

1) x > 3 e x < −3 VERA FALSA

2) x > 3 oppure x < −3 VERA FALSA

3) |x| > 3 VERA FALSA

<M> Stabilire se ognuna delle seguenti affermazioni `e vera o falsa

1) √a2_{= ±}_a _VERA _FALSA

2) √a2_{= |}_a| _VERA _FALSA

3) √a2₌_a _VERA _FALSA

<N> Scrivere una frazione compresa tra 0.34 e 0.35. l

(53)

Analisi 1 Polo di Savona Correzione Prova Iniziale

Correzione Prova Iniziale

Soluzioni

<A> Indicare a fianco di ogni polinomio la sua scomposizione 1) (a2_{− b}2_{) = (a − b)(a + b)}

2) (a4_{− b}4_{) = (a − b)(a + b)(a}2_{+ b}2₎

3) (ab − b2_{) = b(a − b)}

Calcolare la distanza tra i puntiP = (1, 2) e Q = (2, 1) nel piano cartesiano d(P, Q) =√2

<C> Calcolare la distanza tra i puntiP = (a, b) e Q = (b, c) nel piano cartesiano d(P, Q) =p(a − b)2_{+ (b − c)}2

<D> Scrivere a fianco di ognuna delle seguenti equazioni il luogo dei punti da esse identificato nel piano cartesiano. 1) x2₊_y2_{= 1} _cerchio 2) 2x2₊_y2_{= 1} _ellisse 3) x2_{− y}2_{= 1} _iperbole 4) xy = 0 gli assi 5) x + y2_{= 1} _parabola 6) xy = 1 iperbole <E> Calcolare 1) sin(π/3) = √ 3 2 2) sin(π/6) = 1 2 3) cos(π/4) = √ 2 2 4) sin(π/2) = 1

5) sin(2α) = 2 sin α cos α 6) cos2_{α − sin}2_{α = cos(2α)}

<F> Identificare le affermazioni vere e quelle false 1) log₂4 = log₃9 • VERA FALSA

(54)

Analisi 1 Polo di Savona Correzione Prova Iniziale

2) logac = b ⇐⇒ b = ea VERA •FALSA

3) log₂(a + b) = log2(a) + log2(b) VERA • FALSA

<G> Risolvere le seguenti equazioni 1) x2_{− 5x + 6 = 0} _{x = 2} _{x = 3} 2) a2_{+ 3ab + b}2_{= 0} _{a =} −3b±√5|b| 2 oppure b = −3a±√5|a| 2 3) a2_{+ 3ab = −b}2 _{a =} −3b± √ 5|b| 2 oppure b = −3a±√5|a| 2

<H> Se in un magazzino ogni oggetto fragile `e conservato in una scatola, `e vero che, in quel magazzino, ogni scatola contiene un oggetto fragile?

VERO • FALSO

Se in un magazzino ogni oggetto fragile è conservato in una scatola, è vero che, in quel magazzino, se un oggetto non è in una scatola allora non è fragile?

• VERO FALSO

<J> Risolvere la disequazione a_b > 0 a e b devono essere non nulli ed avere lo stesso segno. <K> Risolvere l’equazione (x − 1)(x − 2)(x − 1/3) = 0 x = 1 x = 2 x = 1/3

<L> Sex2_{> 9 allora}

1) x > 3 e x < −3 VERA • FALSA 2) x > 3 oppure x < −3 • VERA FALSA 3) |x| > 3 • VERA FALSA

<M> Stabilire se ognuna delle seguenti affermazioni `e vera o falsa 1) √a2_{= ±a} _VERA _{• FALSA}

2) √a2_{= |}_a| _{• VERA} _FALSA

3) √a2₌_a _VERA _{• FALSA}

(55)

Prima Prova Parziale 99/00

p

1 −x2_{≤ 1 + ax}

<A> Determinare tutte le soluzioni della disequazione pera = 1. Disegnare il grafico dif (x) =√1 −x2 _{e di}_{g(x) = 1 + ax}

<C> Determinare le soluzioni della disequazione al variare dia ∈ R <D> Determinare quante soluzioni ha l’equazione

p

1 −x2_{= (1 +}_ax)

(56)

Seconda Prova Parziale 99/00

Si consideri σn(x) = n X k=1 xk

<A> Applicare il principio di induzione per verificare che

σn(x) =

x − xn+1

1 −x

Applicare il principio di induzione per verificare che 2n_{≥ n}

<C> Trovare un numero naturale n tale che

1 2n < <D> Verificare che σn( 1 2) ≤ 1 ∀n ∈ N <E> Verificare che

supσn(

1 2) = 1

(57)

Terza Prova Parziale 99/00

Si consideri la funzione il cui grafico `e di seguito riportato

<A> Disegnare il grafico dif (|x|) e di |f (x)|

Disegnare il grafico dif (x − α) e di f (x) − α

(58)

<C> Determinare, dal grafico dig i valori di x per i quali `e possibile calcolare g(g(x))

(59)

(60)

Quarta Prova Parziale 99/00

Si considerino le funzioni

f (x) = log2|x2− ax| g(x) = arctan(f (x)) a ∈ (0, 2)

<A> Disegnare il grafico dif al variare di a

Disegnare il grafico dig al variare di a

<C> Disegnare il grafico dig per a = 2 ed a = 0

(61)

Quinta Prova Parziale 99/00

<A> Calcolare lim x→0 1 − cos(x(x + 1)) x2 = Calcolare al variare dia, b ∈ R lim x→0 sin(x(x + b)) ax2₊_bx =

Siaf la funzione il cui grafico `e riportato in figura

<C> Determinare, in corrispondenza di = .5 un intorno bucato I di 2 in modo che sia verificato che |f (x) − 1| < per x ∈ I

(62)

Sesta Prova Parziale 99/00

Si consideri la successione definita da ( an+1= − 1 2an+ 1 a0= 2 e si ponga bn=a2n, cn=a2n+1

<A> Determinareb0e ricavare bn in funzione dibn−1.

Provare chebn`e decrescente e calcolare il limite dibn

<C> Rappresentare graficamente la successione ricorrentean

<D> Stabilire per ciascuno dei seguenti fatti se `e vero o falso. cn `e crescente

cn `e decrescente

cn `e limitata

cn non `e limitata

cn ammette limite ed il suo limite `e...

cn non ammette limite

an ammette limite ed il suo limite `e...

(63)

Settima Prova Parziale 99/00

Si consideri la funzione definita da          ex_sin(_x4₎ x x < 0 ax + b 0 ≤x ≤ 1 (lnx)2 x − 1 +x x > 1 <A> Determinare, se possibile,a, b in modo che f sia continua in 0.

f `e continua in 0 per

Determinare, se possibile,a, b in modo che f sia continua in 0 ed in 1. f `e continua in 0 ed in 1 per

<C> Determinare, se possibile,a, b in modo che f sia derivabile in 0. f `e derivabile in 0 per

<D> Determinare, se possibile,a, b in modo che f sia derivabile in 0 ed in 1. f `e derivabile in 0 ed in 1 per

(64)

Ottava Prova Parziale 99/00

<A> Disegnare il grafico dif (x) = xe−x

Stabilire per qualix si ha

e−x< 1 x <C> Disegnare il grafico dig(x) = ln |x| + e−x

(65)

Analisi 1 Polo di Savona Nona Prova Parziale 99/00

Nona Prova Parziale 99/00

Siaf una funzione derivabile due volte tale che f (0) = 0, f0_{(0) = 1 e sia}

il grafico della sua derivata seconda <A> Disegnare il grafico dif0

<C> Scrivere il suo polinomio di McLaurin di grado 2

<D> Stabilire con quale errore la retta tangente (Polinomio di McLaurin di grado 1) approssima la funzione data.

(66)

Analisi 1 Polo di Savona Decima Prova Parziale 99/00

Decima Prova Parziale 99/00

Siaf una funzione il cui grafico `e indicato in figura

f (x) =                    1/x2 _{x < −2} x + 9/4 −2 ≤ x < −1 5/4 −1 ≤ x < 0 x2 0 ≤x < 1 1/√2 −x 1 ≤x < 2 4 −x 2 ≤x < 3 3/x 3 ≤x e sia F (x) = Z x 0 f (t)dt <A> Calcolare Z 0 −2 f (x)dx Calcolare, se esistono * F0 +(0) = * F0 −(0) = * F0 +(2) = * F0 −(2) =

<C> Trovare una primitiva dif in (−2, 0) <D> Disegnare il grafico diF

(67)

Analisi 1 Polo di Savona Undicesima Prova Parziale 99/00

Undicesima Prova Parziale 99/00

f (x) =

y0(x) = y(x)(1 − y2_(x))1 3

y(0) = y0

<A> Determinare le soluzioni costanti dell’equazione data

Disegnare il grafico della soluzione del problema dato pery0= 1/2 e y0= −1/2

<C> Disegnare il grafico della soluzione del problema dato pery0= 2 ey0= −2

(68)

Recupero Prima Prova Parziale 99/00

p

1 −x2_{≤ x}2

<A> Determinare tutte le soluzioni della disequazione

(69)

Recupero Seconda Prova Parziale 99/00

<A> Applicare il principio di induzione per verificare che

n

X

k=1

6k = 3n2_{+ 3n}

per ognin ∈ N

Applicare il principio di induzione per verificare che 2n< n! per ognin ≥ 4

(70)

Recupero Terza Prova Parziale 99/00

Si consideri la funzionef il cui grafico `e di seguito riportato

(71)

Recupero Quarta Prova Parziale 99/00

f (x) = arctan(ln(px2_{− 1))}

(72)

Recupero Quinta Prova Parziale 99/00

<A> Calcolare lim x→0 ex_{− x − cos x} x = Calcolare al variare dia ∈ R lim x→0+ ex2−x_{− a} x =

(73)

Recupero Sesta Prova Parziale 99/00

an+1=a2n

a0=a

<A> Stabilire per quali valori dia, an `e crescente

Stabilire per quali valori dia, an `e decrescente

(74)

Recupero Settima Prova Parziale 99/00

Si consideri la funzione definita da          e2x_{− a} x x < 0 x − x2 _{0 ≤}_{x ≤ 1} b(lnx) 2 x − 1 x > 1 <A> Determinare, se possibile,a, b in modo che f sia continua in R.

f `e continua in R per

Determinare, se possibile,_{a, b in modo che f sia derivabile in R.} f `e derivabile in R per

(75)

Recupero Ottava Prova Parziale 99/00

<A> Disegnare il grafico dif (x) = (x2_{− 1)e}x

(76)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Nona Prova Parziale 99/00

Recupero Nona Prova Parziale 99/00

Siaf una funzione derivabile due volte tale che f (0) = 0, f0_{(0) = 1 e}

f00(x) =

(_{x(x + 1)} _{x ≤ 1} 2 1< x ≤ 2 1 − 3x x > 2

<A> Disegnare il grafico dif0

(77)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Decima Prova Parziale 99/00

Recupero Decima Prova Parziale 99/00

Siaf definita da f (x) = 1 (x − 1)p(x + 4)3 e sia F (x) = Z x 0 f (t)dt

<A> Trovare il campo di definizione diF

Calcolare, dove esiste,F0_{(x) e precisare il suo campo di definizione.}

(78)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Undicesima Prova Parziale 99/00

Recupero Undicesima Prova Parziale 99/00

y0_{(x) =}_{py(x) − 1}3

y(0) = y0

<A> Disegnare il grafico della soluzione del problema dato pery0= 0

(79)

Prova Iniziale Settembre 2000

Test di Autovalutazione

1

<A> Determinare l’equazione del luogo dei punti (x, y) ∈ R2 _{equidistanti dai punti}_{A = (1, 0) e B = (0, 1)}

Risolvere il sistema di disequazioni

n3x + 2 ≥ 0 x2_{− 3x + 2 ≤ 0}

<C> Determinare, al variare dia ∈ R, quale conica `e rappresentata dall’equazione x2+ay2= 1

<D> Disegnare il luogo dei punti (x, y) ∈ R2 _{tali che}

sin(x2+y2) =1 2

<E> Risolvere la disequazione

x − 1 x + 2 > 1

(80)

1

<F> Spiegare la differenza tra sistemi chimicamente omogenei e chimicamente eterogenei

<G> Spiegare la differenza tra un elemento e un composto

<H> Elencare i componenti dell’atomo e definire il numero atomico ed il numero di massa di un atomo

Descrivere la distribuzione dei componenti dell’atomo al suo interno

<J> Bilanciare le reazioni

H2+N2=N H3

Al + O2=Al2O3

1

<K> Se misurando la lunghezza di una piastra si ottiene L = 16,5 cm, possiamo affermare: i) la misura compresa certamente tra 16,4 e 16,6 ,

ii) la lunghezza vale 16,45 cm

<L> Derivare la forma che lega la distanzax percorsa da un’auto in un tempo t, se l’auto si muove di moto rettilineo con accelerazionea costante

<M> Una particella si muove di moto circolare uniforme con velocit`a v seguendo un traiettoria circolare di raggior. Determinare:

i) la relazione che lega l’accelerazione a alla velocit`a v ] e al raggio r (a meno di una costante di proporzionalit`a);

ii) le dimensioni della costante di proporzionalit`a.

<N> La massa di un cubo solido 856g e ciascun spigolo ha lunghezza 5, 53 cm. Determinare: i) la densit`aρ del cubo nel sistema internazionale ;

(81)

Analisi 1 Polo di Savona Prova Iniziale

Prova Iniziale

Test di Autovalutazione

0

<A> Determinare l’equazione del luogo dei punti (x, y) ∈ R2 _{equidistanti dai punti}_{A = (1, 0) e B = (0, 1)}

(x − 1)2₊_y2₌_x2_{+ (y − 1)}2

da cui

x = y

Risolvere il sistema di disequazioni

n3x + 2 ≥ 0 x2_{− 3x + 2 ≤ 0}

(82)

Analisi 1 Polo di Savona Prova Iniziale ( x ≥ −2 3 1 ≤x ≤ 2 1 ≤x ≤ 2

<C> Determinare, al variare di_{a ∈ R, quale conica `e rappresentata dall’equazione} x2₊_ay2_{= 1}

pera = 0 `e una coppia di rette

pera > 0 è una ellisse (per a = 1 è una circonferenza) pera < 0 è una iperbole

<D> Disegnare il luogo dei punti (x, y) ∈ R2 _{tali che}

sin(x2₊_y2_{) =}1

2

<E> Risolvere la disequazione

x − 1 x + 2 > 1

(83)

Analisi 1 Polo di Savona Prova Iniziale

− 3 x + 2 > 0 x < −2

(84)

Prima Prova Parziale 00/01

A =

_x

x2₊_a2, x ∈ R

<A> Determinare i maggioranti diA

Calcolare supA

<C> Stabilire se maxA = sup A

<D> Provare per induzione che

n

X

k=1

(85)

Seconda Prova Parziale 00/01

(86)

Siag la funzione il cui grafico `e

(87)

(88)

Terza Prova Parziale 00/01

f (x) = e−|x2−a|

al variare dia ∈ R

(89)

Determinare, pera = 1, un intervallo in cui f sia invertibile, calcolare l’inversa di f e disegnare il grafico dell’inversa

Sia

g(x) =nx x < 1 x2 _{x > 1}

<C> Per = 1/2 determinare δ in modo che se |x − 1| < δ si abbia |g(x) − 1| <

(90)

Quarta Prova Parziale 00/01

Si consideri

f (x) = sin(ax) − cos(bx) + 1 x

<A> Pera = 0, b = 1, calcolare

lim x→0f (x) = Pera = 1, b = 0 calcolare lim x→0f (x) = <C> Pera = 1, b = 1 calcolare lim x→0f (x) = <D> Calcolare al variare dia, b lim x→0f (x) = Si consideri g(x) = sin(x − 1)√ x − 1 <E> Calcolare lim x→1g(x) = <F> Calcolare lim x→+∞g(x) =

(91)

Quinta Prova Parziale 00/01

an+1=

(an− a2n)

2 a0=a

<A> Disegnare il grafico dif (x) =x−x2

2 e dig(x) = x precisandone i punti di intersezione

Per 0 ≤a ≤ 1, provare che 0 ≤ an≤ 1.

<C> Per 0 ≤a ≤ 1, provare che an `e decrescente.

<D> Stabilire sean ammette limite ed in caso affermativo calcolarlo

(92)

Sesta Prova Parziale 00/01

Si consideri la funzione definita da    cos(x) x < 0 ax2₊_b _{0 ≤}_{x ≤ 1} 1 −√x x > 1

<A> Determinare, se possibile,a, b in modo che f sia continua in 0. f `e continua in 0 per

<D> Determinare, se possibile,a, b in modo che f sia derivabile in 0 ed in 1. f `e derivabile in 0 ed in 1 per

(93)

Settima Prova Parziale 00/01

f (x) = arctan(x) − ln(1 + x2₎

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico dif in x0= 0.

<C> Scrivere il polinomio di McLaurin dif di ordine 4 di f (Polinomio di Taylor centrato nel punto x0= 0)

<D> Scrivere il resto di Peano relativo al polinomio di McLaurin trovato al punto precedente

<E> Calcolare

lim

x→0

f (x) − x x2

(94)

Ottava Prova Parziale 00/01

f (x) =

(_ex _{x < −1}

2 −1 ≤ x ≤ 0

2 −x − x2 _{x > 0}

Calcolaref0 _{e disegnare il grafico di}_f0

<C> Disegnare il grafico di

F (x) = Z x

0

(95)

<D> Calcolare una primitiva dif ,precisando dove `e definita

(96)

Analisi 1 Polo di Savona Nona Prova Parziale 00/01

Nona Prova Parziale 00/01

f (x) =y0(x) = (y(x) − 1)py(x) + 1 y(0) = y0

<A> Determinare per quali valori diy0 il problema ammette soluzioni costanti

Disegnare il grafico dell’inversa della soluzione del problema pery0= 0

<C> Disegnare il grafico dell’inversa della soluzione del problema per y0= 2

(97)

(98)

Analisi 1 Polo di Savona Decima Prova Parziale 00/01

Decima Prova Parziale 00/01

y00(x) − 3y0(x) + 2y(x) = e3x_{+ cos(x)}

<A> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata.

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa

<C> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa tali chey(0) = 0

<D> Scrivere un sistema differenziale lineare di primo ordine equivalente all’equazione data:

(99)

Recupero Prima Prova Parziale 00/01

A = ₁

x2_{+ 4}, x ∈ R

<A> Determinare i maggioranti diA

Calcolare supA

(100)

Recupero Seconda Prova Parziale 00/01

Siag la funzione il cui grafico `e

(101)

(102)

Recupero Terza Prova Parziale 00/01

f (x) = ln |x2_{− a|}

al variare dia ∈ R

<A> Disegnare il grafico dif per a = 0 per a < 0 e per a > 0

Determinare, pera = 1, un intervallo in cui f sia invertibile, calcolare l’inversa di f e disegnare il grafico dell’inversa

(103)

(104)

Recupero Quarta Prova Parziale 00/01

Si consideri

f (x) = e

ax_{− cos(bx)}

x <A> Calcolare al variare dia, b

lim

(105)

Recupero Quinta Prova Parziale 00/01

an+1=

1 −an

2 a0=a

<A> Disegnare il grafico dif (x) =1−x

2 e dig(x) = x precisandone i punti di intersezione

(106)

Recupero Sesta Prova Parziale 00/01

f (x) =      1 1 +x2 x < 0 ax3₊_{bx + 1} _{0 ≤}_{x ≤ 1} 1 x > 1

<A> Determinare, se possibile,a, b in modo che f sia continua in 0. f `e continua in 0 per

(107)

Recupero Settima Prova Parziale 00/01

f (x) = x2_{− ln(1 + x}2₎

Scrivere il polinomio di McLaurin dif di ordine 2 di f (Polinomio di Taylor centrato nel punto x0= 0)

(108)

Recupero Ottava Prova Parziale 00/01

f (x) =    −1 x x < −1 0 1 ≤x ≤ 0 e−x x > 0

Calcolaref0 _{e disegnare il grafico di}_f0

<C> Disegnare il grafico di

F (x) = Z x

0

(109)

(110)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Nona Prova Parziale 00/01

Recupero Nona Prova Parziale 00/01

f (x) =y

0_{(x) = y(x)(y(x) − 1)}2

y(0) = y0

<A> Disegnare il grafico della soluzione del problema pery0= 1

(111)

Analisi 1 Polo di Savona Recupero Decima Prova Parziale 00/01

Recupero Decima Prova Parziale 00/01

y00(x) − 3y0(x) = 1 + sin(x)

<A> Determinare tutte le soluzioni dell’equazione omogenea associata.

Determinare tutte le soluzioni dell’equazione completa

(112)

Prova Iniziale Settembre 2001

Test di Autovalutazione

1

<A> Risolvere le seguenti disequazioni

2 − 3x ≥ 0 x2_{− 6x + 8 ≤ 0} Risolvere la disequazione 2x − 1 3x + 2 ≥ 1 <C> Risolvere l’equazione (x + 1)(x − 1)(x + 2) = 0 <D> Disegnare il luogo dei punti (x, y) ∈ R2 _{tali che}

sin(x + y) = 0

<E> Calcolare quoziente e resto della seguente divisione tra polinomi x3₊_x2_{+ 1}

(113)

<F> Calcolare i seguenti valori

cos 3 4π sin 3 2π log₃(81)

1

<G> Se m rappresenta una massa, F una forza e s una lunghezza; quale delle seguenti espressioni ha le dimensioni di una velocit`a?

1) F_m; 2) F m 1/2 ; 3) F s m 1/2 ; 4) F s_m

<H> Un aereo percorre circa 20Km in linea retta in un minuto. Stimare la sua velocit`a mediavmutilizzando

la relazionevm=s_t doves indica lo spazio percorso e t l’intervallo di tempo impiegato a percorrerlo

Tra le grandezze A,B e C vale la relazione AB = sen C. Quale delle seguenti affermazioni `e corretta? 1) A,B e C sono tutte grandezze adimensionate;

2) A,B e C hanno tutte la stessa dimensione;

3) la dimensione di A è il reciproco della dimensione di B e C ha dimensione qualsiasi; 4) la dimensione di A è il reciproco della dimensione di B e C è adimensionata

<J> Sappiamo che Marco ha tre fratelli. Di questi: Matteo è il più anziano, Giovanni il più giovane e Luca il più taciturno. Possiamo dedurre che:

1) Luca è più giovane di Marco; 2) Giovanni è più giovane di Marco; 3) Giovanni è più taciturno di Matteo;

4) Se Marco ha una sorella, questa `e pi`u giovane di Matteo; 5) Se Marco ha due sorelle anche Luca ha due sorelle.

1

<K> Definire bit e byte <L> Calcolare:

1 AND 0 = 0 AND 0 = 1 OR 0 =

(1 AND 1) OR (0 AND 1) =

<M> Cosa esegue il seguente programma? Spiegarne il funzionamento a parole e scrivere il risultato stampato su schermo a fine esecuzione

#include <stdio.h> int main()

(114)

{

int i=0; int media=1;

for (i=1; i<5; i++) media=media*i;

printf("la variabile media vale = %d\n", media); }

Test di Autovalutazione

<N> Risolvere le seguenti disequazioni

2 − 3x ≥ 0 x2_{− 6x + 8 ≤ 0} Risposta x ≤ 2 3 2 ≤x ≤ 4

<O> Risolvere la disequazione

2x − 1 3x + 2 ≥ 1 Risposta −3 ≤ x < −2 3 Risolvere l’equazione (x + 1)(x − 1)(x + 2) = 0 Risposta x = −1 , x = 1 , x = −2

<Q> Disegnare il luogo dei punti (x, y) ∈ R2 _{tali che}

sin(x + y) = 0 Risposta