Esercitazione guidata 20 Gennaio 2011 1) Date le rette: r : x − y + 1 = 0 x + y + z = 0, s : x + 3y = 0 x + y = 0
a) Verificare che r e s sono sghembe.
b) Scrivere l’equazione cartesiana della superficie S generata dalla rotazione di r attorno ad s.
2) Data la retta r : x − 2y + 1 = 0
x + z − 2 = 0 e il piano π : x − 3y + z = 0, determinare: a) la retta simmetrica di r rispetto al piano π.
b) l’angolo formato dalla retta r e il piano π.
3) Sia α ∈ R e siano πα: x + αy − z = 1, σα: αx + 4y − αz + 1 = 0.
a) Determinare, se esistono, i valori di α tali che πα risulti parallelo a σα.
b) Determinare, se esistono, i valori di α tali che πα risulti perpendicolare a σα.
c) Posto α = 2, determinare il piano simmetrico di πα rispetto a σα.
4) Date le sfere: S1: x2+ y2+ z2= 6 e S2: (x − 1)2+ (y − 2)2+ (z + 2)2= 3,
a) verificare che S1∩ S2`e una circonferenza C.
b) Determinare il raggio, il centro di C e l’equazione del piano che la contiene.
5) Determinare una conica degenere e una non degenere passanti per i punti A(1, −1), B(3, 0), C(−2, 2), D(1, 3).
6) Data la curva C di equazioni parametriche (x = t2− 2
y = t z = t3− t2
, s : x + 3y = 0 x + y = 0
a) Determinare la retta tangente ed il piano osculatore nel punto P0(?1, 1, 0) alla curva C
b) Verificare che C non `e una curva piana.
c) Determinare i punti di C in cui la retta tangente `e ortogonale al vettore u = (1, −1, −1) . d) Determinare i punti di C in cui in cui il piano osculatore ‘e parallelo all’asse y
