Compito di Fisica Matematica, 18/11/2008
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Calcolare il residuo della funzione f (z) = z2+251 sin (z − 5i) in corrispondenza di z1= 5i e di z2= −5i.
(2) Verificare che la funzione f (z) = z2+ sin (z) `e analitica e calcolare R
γf (z) dz dove γ `e l’unione dei due segmenti γ1 = {0 ≤ x ≤ 1, y = 0} e γ2 = {x = 1, 0 ≤ y ≤ 1}. Calcolare poi R
Γf (z) dz, Γ essendo il segmento y = x con 0 ≤ x ≤ 1.
Osservate che con x ed y si sono indicate rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z.
(3) Sviluppare in serie di Taylor nell’intorno di z0 = π la f (z) = ezsin (z) e determinarne il raggio di convergenza.
(4) Sviluppare in serie di Fourier la funzione
f (x) =
( |x|, x ∈ [−π/3, π/3];
0, altrove,
(5) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Fourier della funzione
f (x) = 1 (x − 3i)2.
Calcolare inoltre la sua norma,R∞
−∞|f (x)|2dx.
(6) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione f (t) = t cos(t). Deter- minarne l’ascissa di convergenza.
(TdP1)Verificare che la funzione f (x) = N
x2 x ∈ [0, 1[
2 − x x ∈ [1,√ 2]
0 altrove
`e una densit`a di proba-
bilit`a. Ottenere la funzione cumulativa associata e la probabilit`a che la variabile aleatoria assuma valore tra 0.2 e 0.8.
(TdP2) Calcolare i momenti di ordine 1,2 e 3 della variable aleatoria associata alla densit`a di probabilit`a dell’esercizio precedente. Ottenere poi la funzione caratteristica e verificare il risultato appena ottenuto.
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