Geometria differenziale 01EAU – Esame finale 17/01/07
1. Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni `e vera o falsa:
(i) Sia C l’ellisse parametrizzata da (3 cos t, 2 sin t) e sia κ2 la sua curvatura. Allora esistono quattro punti di C per cui κ20(t) = 0.
(ii) Un toro di rotazione M (fatto di plastica e riempito di aria) `e messo su un tavolo.
Allora la circonferenza di contatto `e una geodetica di M.
(iii) Siano M1 la met`a dell’iperboloide z2 = 1 + x2 + y2 con z > 0, M2 il paraboloide z = x2+ y2 e f : Mi → S2(1) l’applicazione di Gauss per entrambe le superfici (definita dal versore normale U che punta sempre verso ‘basso’). Allora f (M1) ⊂6= f (M2).
(iv) Una carta x(u, v) per cui E = E(v) `e funzione (solo) di v , F = 0, and G = 1 ha Γ211≡ 0 [dove Γkij sono i simboli di Christoffel].
(v) Per il semipiano H = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}, dotata della prima forma fondamentale ds2 = y−2(dx2+ dy2), esiste un’unica geodetica che contiene due qualsiasi punti p, q ∈ H . (vi) Sia x : (0, π) × R → R3 la carta (u, v) 7→ (cos u cosh v, sin u cosh v, v) e K la sua curvatura Gaussiana. Allora RR K du dv = 4π .
2. Una trattrice `e parametrizzata da α(t) = (y, z) dove y = sin t e z = cos t + log (tan2t) per 0 < t < π . [Segue che z0 = − sin t + csc t = − sin t + 1/sin t.]
(a) Calcolare la curvatura κ2(t) della trattrice e verificare che `e sempre negativa. Disegnare il grafico della funzione t 7→ κ2(t) con 0 < t < π .
(b) Scrivere una carta x(u, v) (con v = t) per la superficie T ottenuta ruotando la traccia di α intorno all’asse z e calcolare la prima f.f. ds2 = Edu2+ 2F du dv + Gdv2 di T . (c) Usare la sostituzione w = log sin v per concludere che ds2= e2wdu2+ dw2.
(d) Dedurre (in qualsiasi modo) che T ha curvatura Gaussiana costante.
3. Sia γ : (a, b) → R3 una curva nello spazio, parametrizzata dalla lunghezza d’arco s.
(a) Mostrare che la curvatura κγ(s) di γ `e uguale alla norma kγ00(s)k.
Si consideri la superficie rigata M parametrizzata da x(u, v) = γ (u) + v γ0(u).
(b) Trovare i coefficienti E, F, G della prima forma fondamentale di M in termini di v, κγ. (c) Calcolare espressioni per il versore normale U e e, f, g e verificare che K ≡ 0.
(d) Sia β una curva piana parametrizzata dalla lunghezza d’arco con curvatura κβ che soddisfa κβ = κγ (`e noto che tale curva esiste). Osservare che y(u, v) = β (u) + v β0(u) ha la stessa prima f.f. di M e dedurre che M `e localmente isometrica al piano.
4. La superficie di Enneper E `e parametrizzata da y(u, v) =
3u − u3+ 3uv2, 3v − v3+ 3u2v, 3u2− 3v2 .
(a) Trovare yu, yv, yuu, yuv, yvv e verificare che y `e conforme (cio`e, E = G e F = 0).
Esprimere E come funzione di 1 + u2+ v2 e mostrare che la curvatura media H `e nulla.
(b) Trovare le curvature principali k1, k2 di E , usando [senza dimostrazioni] la formula k1k2 = K e l’equazione K = −(2E)−1∆(log E). `E vero che l’endomorfismo di Weingarten S: TpE → TpE `e un isomorfismo per ogni p ∈ E ?
