COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2014/15

(1)

COMPITI DI MATEMATICA GENERALE AA. 2014/15

Prova Intermedia Anno 2014-Compito 1 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# #

$ BÄ∞ #

sen sen

.

Œ 

B $B B B B

#B B à B #B

"B#

B

2) Date le funzioni 0 B œ $B # 1 B œ # , ^B e 2 B , si determini l'espressione di 2 B sapendo che risulta 0 1 2 B œsenB.

3) Risolvere la disequazione logŒ$ " .

# $ !

B B

4) Date tre generiche proposizioni , e , determinare i casi di verità e di falsità della pro- ‚ posizione / con ÀÊ 9 Ê 898‚ e À Í‚, nell'ipotesi che la proposizione Í sia vera.

5) Determinare il valore del parametro per il quale risulta . 5 " 5Blog " œ &

" #B

BÄ!lim

$

lim lim

BÄ!

# #

# BÄ∞ #

log sen

.

Œ 

" B B $B B #B

#B B à B B

"B B#

2) Date le funzioni 0 B œ $ # 1 B œ #B $ ^B , e 2 B , si determini l'espressione di 2 B sapendo che risulta 0 1 2 B œcosB.

3) Risolvere la disequazione logŒ$ # .

% $ !

B B

4) Date tre generiche proposizioni , e , determinare i casi di verità e di falsità della pro- ‚ posizione 9 con ÀÍ‚ / Í e À 898‚Ê, nell'ipotesi che la proposizione Í sia falsa.

5) Determinare il valore del parametro per il quale risulta .

5 " 5B "sen œ #

lim $B

BÄ!

È^$

Prova Intermedia Anno 2014-Compito 1‚ 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

$ # #

# BÄ∞

B B B B B #B

B #B à " B

tg sen .

Œ 

B#

"B

2) Date le funzioni 0 B œ #B $ 1 B œ , log#B e 2 B , si determini l'espressione di 2 B sapendo che risulta 0 1 2 B œsenB.

3) Risolvere la disequazione logŒ$ #  .

# " !

B B

4) Date tre generiche proposizioni , e , determinare i casi di verità e di falsità della pro- ‚ posizione / con ÀÊ 898 e ÀcÍ‚ 9 Í‚d, nell'ipotesi che la proposizione Í sia vera.

(2)

5) Determinare il valore del parametro per il quale risulta 5 " 5B " œ $. / "

BÄ!lim

#

#B

Prova Intermedia Anno 2014-Compito 1ƒ 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# #

% & BÄ∞ #

" B B B B

B Bcos à cos " #Bsen

Œ  .

#B#

B"

2) Date le funzioni 0 B œ log#B 1 B œ $B ", e 2 B , si determini l'espressione di 2 B sapendo che risulta 0 1 2 B œcosB.

3) Risolvere la disequazione logŒ' #  .

# $ !

B B

4) Date tre generiche proposizioni , e , determinare i casi di verità e di falsità della pro- ‚ posizione 9 con À 898 ‚Ê e ÀcÍ‚ / Êd, nell'ipotesi che la proposizione Í sia falsa.

5) Determinare il valore del parametro per il quale risulta . 5 " 5Btg " œ "

lim %B

BÄ!

É $

lim lim

BÄ!

$ #

' ) BÄ∞

sen B B # .

(B B à Œ B 

B "#

$B

2) Date le funzioni 0 B œ #B " e 1 B , si determini l'espressione di 1 B sapendo che ri-

$B %

sulta 0 1 B œ #^B.

3) Risolvere la doppia disequazione ! log_#" B # . 4) Date le due proposizioni:

À l'insieme è contenuto nell'insieme ;

ŒÀ il complementare dell'insieme è contenuto nell'insieme ;

si studino verità e falsità della proposizione Œ/ al variare dell'appartenenza di un generi- co elemento ad e a .

5) Date le funzioni 0 B œ B # † log$$B 5 e 1 B œ B &B ' , si determini il va-

#

lore del parametro per il quale risulta 5 0 B œ 9 1 B per B Ä ". Prova Intermedia Anno 2014-Compito 2 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

#

% BÄ∞

" $B B #

&Bcos à B

Œ  .

B "#

#B

2) Date le funzioni 0 B œ B " e 1 B , si determini l'espressione di 1 B sapendo che ri-

$B #

sulta 0 1 B œsenB.

3) Risolvere la doppia disequazione " log_$B " ! . 4) Date le due proposizioni:

À l'insieme è contenuto nel complementare dell'insieme ;

(3)

ŒÀ l'insieme è contenuto nell'insieme ;

si studino verità e falsità della proposizione Œ9 al variare dell'appartenenza di un generi- co elemento ad e a .

5) Date le funzioni 0 B œ B " † # $5 ^B e 1 B œ B " ^# , si determini il valore del parametro per il quale risulta 5 0 B œ 9 1 B per B Ä #.

Prova Intermedia Anno 2014-Compito 2‚ 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# $

$ # BÄ∞

sen

tg B " #B .

B à Œ#B $

B"

2) Date le funzioni 0 B œ $ ^"#B e 1 B , si determini l'espressione di 1 B sapendo che risulta 0 1 B œ B ".

B "

3) Risolvere la doppia disequazione " log_#B " " . 4) Date le due proposizioni:

À l'insieme è contenuto nell'insieme ;

ŒÀ l'insieme è contenuto nel complementare dell'insieme ;

si studino verità e falsità della proposizione Œ/ al variare dell'appartenenza di un generi- co elemento ad e a .

5) Date le funzioni 0 B œ B $ † log##B 5 e 1 B œ B %B $ , si determini il va-

#

lore del parametro per il quale risulta 5 0 B œ 9 1 B per B Ä #. Prova Intermedia Anno 2014-Compito 2ƒ 1) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

%

% & BÄ∞

log .

Œ 

" B $ #B

$B B à #B "

"B

2) Date le funzioni 0 B œ " # log e B 1 B , si determini l'espressione di 1 B sapendo che risulta 0 1 B œlog$" B.

3) Risolvere la doppia disequazione ! log_$# B " . 4) Date le due proposizioni:

À il complementare dell'insieme è contenuto nell'insieme ; ŒÀ l'insieme è contenuto nell'insieme ;

si studino verità e falsità della proposizione Œ9 al variare dell'appartenenza di un generi- co elemento ad e a .

5) Date le funzioni 0 B œ B " † $ #5 ^B e 1 B œ B B # ^# , si determini il valore del parametro per il quale risulta 5 0 B œ 9 1 B per B Ä !.

I Appello Sessione Invernale 2015 - Compito 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ $B # ^# log .B 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞ #

"B

sen arctg

; .

$B #B " B

#B Œ" B B 

3) Disegnare un possibile grafico per una funzione che soddisfa alle seguenti quattro definizioni di limite:

(4)

a) a b& $ & À B $ & Ê 0 B à &

b) a ! b& $ & À " $ & B " Ê 0 B # àk k &

c) a b& $ & À " B " $ & Ê 0 B à &

d) a ! b& $ & À B $ & Ê 0 B Þk k &

4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B C / ^# ^CD logB D, dopo aver calcolato f0 #ß "ß " si calcoli anche f0 #ß "ß " † •, sapendo che il vettore ha modulo uguale a e che l'angolo• # tra f0 #ß "ß " e è uguale a .

• $1

5) Dati i vettori —_" œ B ß $Bß Bˆ ^# ‰ e —_# œ Bß Bß * , si determini per quali valori di ilB loro prodotto scalare risulta massimo o minimo.

6) Data la funzione 0 B œ # " si determini dove tale funzione risulta invertibile, deter-

# %

^B_B

minando dominio e codominio nonchè l'espressione della sua funzione inversa.

7) Data la funzione 0 B œ log$B # si determini il punto B! nel quale la retta tangente al grafico della funzione risulta perpendicolare alla retta di equazione #C B œ "!, determinan- do poi l'equazione di tale retta tangente.

8) Analizzare i punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B C BC B $C ^# ^$ . 9) Deteminare il valore del parametro per cui risulta 5 B 5dB œ $.

B # ("

!

10) Dati i vettori —_" œ "ß "ß 7 e —_# œ #ß 5ß % si determini, al variare di e di , quando7 5 essi risultano paralleli e quando perpendicolari. Siano poi la matrice avente —_" ed —_# come righe e ˜œ "ß "ß " . Si determinino i valori di 7 e per cui 5 ˜† dà per risultato il vettore nullo.

I Appello Sessione Invernale 2015 - Compito 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ $ logB #B^# . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

# BB

arcsen sen

; .

B $B " B B

%B Œ " #B 

#

a) a b& $ & À B $ & Ê 0 B à &

b) a ! b& $ & À # $ & B # Ê 0 B àk k &

c) a b& $ & À # B # $ & Ê 0 B à &

d) a ! b& $ & À B $ & Ê 0 B " Þk k &

4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ / ^BClogD B C D ^# , dopo aver calcolato f0 "ß "ß # si calcoli anche f0 "ß "ß # † •, sapendo che il vettore ha modulo uguale a e che l'angolo• "

tra f0 "ß "ß # e è uguale a .

• %1

5) Dati i vettori —_" œ Bß $ß * e —_# œ B ß B ß Bˆ ^# ^# ‰, si determini per quali valori di il lo-B ro prodotto scalare risulta massimo o minimo.

6) Data la funzione 0 B œ $ # si determini dove tale funzione risulta invertibile, deter-

$ "

^B_B

7) Data la funzione 0 B œ log#B $ si determini il punto B! nel quale la retta tangente al grafico della funzione risulta perpendicolare alla retta di equazione $C B œ ', determinan- do poi l'equazione di tale retta tangente.

8) Analizzare i punti stazionari della funzione 0 Bß C œ C B BC B $C ^$ ^# .

(5)

9) Deteminare il valore del parametro per cui risulta 5 B 5 dB œ #. B "

(!

"

10) Dati i vettori —_" œ #ß "ß 7 e —_# œ "ß 5ß # si determini, al variare di 7 e di ,5 quando essi risultano paralleli e quando perpendicolari. Siano poi la matrice avente —_" ed

—_# come righe e ˜œ "ß "ß " . Si determinino i valori di 7 e per cui 5 ˜† dà per risultato il vettore nullo.

I Appello Sessione Invernale 2015 - Compito ‚ 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B ^# 4 log .B 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞ #

B"

arctg sen

; .

%B $B " #B

$B Œ" B B 

a) a b& $ & À B $ & Ê 0 B àk k &

b) a b& $ & À " $ & B " Ê 0 B à &

c) a ! b& $ & À " B " $ & Ê 0 B " àk k &

d) a b& $ & À B $ & Ê 0 B Þ &

4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ logC D / ^DB #BC, dopo aver calcolato f0 "ß #ß " si calcoli anche f0 "ß #ß " † •, sapendo che il vettore ha modulo uguale a e che l'angolo• # tra f0 "ß #ß " e è uguale a .

• '1

5) Dati i vettori —_" œ B ß Bß $ˆ ^# ‰ e —_# œ #Bß $Bß %B , si determini per quali valori di ilB loro prodotto scalare risulta massimo o minimo.

6) Data la funzione 0 B œ # # si determini dove tale funzione risulta invertibile, deter-

# "

^B_B

7) Data la funzione 0 B œ log#B $ si determini il punto B! nel quale la retta tangente al grafico della funzione risulta perpendicolare alla retta di equazione C #B œ ", determinan- do poi l'equazione di tale retta tangente.

8) Analizzare i punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B C BC B $C ^# ^$ . 9) Deteminare il valore del parametro per cui risulta 5 B 5dB œ " .

B # #

("

!

10) Dati i vettori —_" œ 5ß $ß # e —_# œ "ß "ß 7 si determini, al variare di e di , quando7 5 essi risultano paralleli e quando perpendicolari. Siano poi la matrice avente —_" ed —_# come righe e ˜œ "ß "ß " . Si determinino i valori di 7 e per cui 5 ˜† dà per risultato il vettore nullo.

I Appello Sessione Invernale 2015 - Compito ƒ 1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ logB $B^# . 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! BÄ∞

# B "

sen arcsen

; .

#B $B " B B

%B Œ " B 

#

a) a ! b& $ & À B $ & Ê 0 B " àk k &

(6)

b) a b& $ & À $ & B ! Ê 0 B à &

c) a ! b& $ & À ! B $ & Ê 0 B àk k &

d) a b& $ & À B $ & Ê 0 B Þ &

4) Data la funzione 0 Bß Cß D œ D C / ^# ^BClogB D, dopo aver calcolato f0 #ß #ß " si calcoli anche f0 #ß #ß " † •, sapendo che il vettore ha modulo uguale a e che l'angolo• "

tra f0 #ß #ß " e è uguale a $ .

• %1

5) Dati i vettori —_" œ #Bß $ß ' e —_# œ B ß B ß #Bˆ ^# ^# ‰, si determini per quali valori di B il loro prodotto scalare risulta massimo o minimo.

6) Data la funzione 0 B œ $ " si determini dove tale funzione risulta invertibile, deter-

$ *

^B_B

7) Data la funzione 0 B œ log$B # si determini il punto B! nel quale la retta tangente al grafico della funzione risulta perpendicolare alla retta di equazione C $B œ #, determinan- do poi l'equazione di tale retta tangente.

8) Analizzare i punti stazionari della funzione 0 Bß C œ B C BC $B C ^$ ^# . 9) Deteminare il valore del parametro per cui risulta 5 B 5 dB œ #.

B "

(!

"

10) Dati i vettori —_" œ 5ß "ß # e —_# œ "ß $ß 7 si determini, al variare di 7 e di ,5 quando essi risultano paralleli e quando perpendicolari. Siano poi la matrice avente —_" ed

—_# come righe e ˜œ "ß "ß " . Si determinino i valori di 7 e per cui 5 ˜† dà per risultato il vettore nullo.

II Appello Sessione Invernale 2015 - Compito

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ logˆ$B %B^#‰. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B B

# BÄ∞

$ B $ " B

#B " B

# cos log

; .

3) Date 0 B œ $ B ^B e 1 B œ # B ^B dire se e dove le due funzioni possono risultare asintoticamente equivalenti: 0 B µ 1 B .

4) Data la funzione 0 B œ $B 7 / ^"#B, determinare il valore del parametro 7 sapendo che la funzione ha un punto di massimo in B œ ".

5) Date 0 B œ / ^$B" e 1 B œ / ^#B" si determini il punto B! nel quale la retta tangente al grafico di 0 B e quella tangente al grafico di 1 B risultano parallele.

6) Se 0 B œ È^$ $B # e 0 1 B œlog , determinare l'espressione di B 1 B .

7) Determinare l'area al di sotto del grafico della funzione 0 B œ $ #B B ^# nella parte di piano cartesiano contenuta nel primo quadrante.

8) Data una funzione 0 Bß C À ‘^# Ä‘, la matrice Hessiana calcolata in un punto stazionario risulta ‡ œ 5 " " . Determinare, al variare del parametro , la natura del punto5

" 5 #

¾ ¾

stazionario.

9) Date le matrici œ 5 " # e œ ed il vettore •œ # , determi-

" " 5 "

" "

! 5

5 #

¾ ¾ ¾ ¾

ã ã

nare il valore del parametro per il quale risulta 5 † † œ # .

• ¾ ! ¾

10) Data la funzione 0 Bß C œ BC C logB C si considerino le due proposizioni:

(7)

À `0 œ C " " À `0 œ B " "

`B B C e `C B C . Dopo aver determinato verità o falsi- tà di ciascuna proposizione, si determini se la proposizione 898Ê risulta vera o falsa.

II Appello Sessione Invernale 2015 - Compito

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ logˆ&B #B^#‰. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B B

# BÄ∞

/ B B #

$B # B

# cos

; .

log

3) Date 0 B œ # B ^B e 1 B œ % B ^B dire se e dove le due funzioni possono risultare asintoticamente equivalenti: 0 B µ 1 B .

4) Data la funzione 0 B œ 7 / ^"#B $B, determinare il valore del parametro 7 sapendo che la funzione ha un punto di minimo in B œ ".

5) Date 0 B œ / ^#B" e 1 B œ / ^$B# si determini il punto B! nel quale la retta tangente al grafico di 0 B e quella tangente al grafico di 1 B risultano parallele.

6) Se 0 B œ È^$ #B " e 0 1 B œ /^B, determinare l'espressione di 1 B .

7) Determinare l'area al di sotto del grafico della funzione 0 B œ 'B B & ^# nella parte di piano cartesiano contenuta nel primo quadrante.

" 5 #

¾ ¾

stazionario.

9) Date le matrici œ # " 5 e œ ed il vettore •œ " , determi-

5 ! " "

" # 5 "

" 5

¾ ¾ ¾ ¾

ã ã

nare il valore del parametro per il quale risulta 5 † † œ # .

"

• ¾ ¾

10) Data la funzione 0 Bß C œ B BC / ^# ^BC si considerino le due proposizioni:

À `0 œ #B C / À `0 œ #B B /

`B `C

BC e BC. Dopo aver determinato verità o falsità di ciascuna proposizione, si determini se la proposizione Ê 898 risulta vera o falsa.

II Appello Sessione Invernale 2015 - Compito ‚

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ logˆ%B $B^#‰. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B B

# BÄ∞

# B " B /

$B " B

# cos log

; .

3) Date 0 B œ % B ^B e 1 B œ $ B ^B dire se e dove le due funzioni possono risultare asintoticamente equivalenti: 0 B µ 1 B .

4) Data la funzione 0 B œ #B 7 / ^"$B, determinare il valore del parametro 7 sapendo che la funzione ha un punto di massimo in B œ ".

5) Date 0 B œ / ^$B" e 1 B œ / ^#B# si determini il punto B! nel quale la retta tangente al grafico di 0 B e quella tangente al grafico di 1 B risultano parallele.

6) Se 0 B œ È^$ B $ e 0 1 B œsenB, determinare l'espressione di 1 B .

(8)

7) Determinare l'area al di sotto del grafico della funzione 0 B œ & %B B ^# nella parte di piano cartesiano contenuta nel primo quadrante.

" 5 #

¾ ¾

stazionario.

9) Date le matrici œ 5 " " e œ ed il vettore •œ # , deter-

# " 5 "

" "

" 5 5 "

¾ ¾ ¾ ¾

ã ã

minare il valore del parametro per il quale risulta 5 † † œ " .

• ¾ ¾!

10) Data la funzione 0 Bß C œ B C ^#C senB si considerino le due proposizioni:

À `0 œ #C B C B À `0 œ B B B

`B `C

#C" cos e #Clog # sen . Dopo aver determinato verità o falsità di ciascuna proposizione, si determini se la proposizione Ê 898 risulta vera o falsa.

II Appello Sessione Invernale 2015 - Compito ƒ

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ logˆ#B &B^#‰. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

B B

# BÄ∞

% B B $

#B " # B

# cos

; .

log

3) Date 0 B œ # B ^B e 1 B œ $ B ^B dire se e dove le due funzioni possono risultare asintoticamente equivalenti: 0 B µ 1 B .

4) Data la funzione 0 B œ 7 / ^"$B #B, determinare il valore del parametro 7 sapendo che la funzione ha un punto di minimo in B œ ".

5) Date 0 B œ / ^#B# e 1 B œ / ^$B" si determini il punto B! nel quale la retta tangente al grafico di 0 B e quella tangente al grafico di 1 B risultano parallele.

6) Se 0 B œ È^$ #B $ e 0 1 B œcosB, determinare l'espressione di 1 B .

7) Determinare l'area al di sotto del grafico della funzione 0 B œ B B ' ^# nella parte di piano cartesiano contenuta nel primo quadrante.

8) Data una funzione 0 Bß C À ‘^# Ä‘, la matrice Hessiana calcolata in un punto stazionario risulta ‡ œ 5 # . Determinare, al variare del parametro , la natura del punto sta-5

# 5 #

¾ ¾

zionario.

9) Date le matrici œ " # 5 e œ ed il vettore •œ " , deter-

5 " " "

# "

5 "

! 5

¾ ¾ ¾ ¾

ã ã

minare il valore del parametro per il quale risulta 5 † † œ % .

• ¾ # ¾

10) Data la funzione 0 Bß C œ B # BC B ^# ^C si considerino le due proposizioni:

À `0 œ B # C " À `0 œ B # B

`B `C

C e # C . Dopo aver determinato verità o falsità di ciascuna proposizione, si determini se la proposizione 898Ê risulta vera o falsa.

Appello Sessione Straordinaria I 2015

(9)

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ / ^#BB^#. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

# B B

BÄ∞ #B

sen sen sen

; .

B B $B / /

B /

#

3) Date 0 B œ $B & e 1 B œ / ^B determinare l'espressione della funzione composta J B œ 0 1 0 B e determinare poi dove J B risulta invertibile, nonchè dominio, codominio ed espressione della sua inversa.

4) Data la funzione 0 B œ / ^B, determinare il punto B! nel quale la retta tangente al grafico di tale funzione risulta una retta passante per l'origine degli assi.

5) Disegnare un possibile grafico di una funzione 0 B che soddisfi alle seguenti condizioni:

a) lim ;

BÄ∞0 B œ ∞

b) ha per asintoto obliquo sulla destra la retta di equazione C œ #B $; c) ha una discontinuità di II specie infinita in B œ !;

d) risulta 0 B ! solamente per B − $ß "c d.

6) Data la funzione 0 Bß Cß D œ B C CsenBD log D , si determini f0 !ß "ß " e si deter-

^# C

mini poi il valore del parametro per il quale il vettore 5 —œ #ß $ß 5 risulta perpendicolare a f0 !ß "ß " .

7) Determinare l'area della parte di piano cartesiano compresa al di sotto del grafico della funzione 0 B œ %B B ^# e sopra quello della retta di equazione C œ #B.

8) Data la funzione 0 B œ 7 † B 5 † / ^"B, determinare il valore dei parametri 7 e 5 sapendo che la funzione ha un punto di massimo in B œ $ con 0 $ œ & .

9) Data la matrice œ ed il vettore •œ , determinare il valore

" 5 " "

! " 5 "

5 # 7 "

â â â â

dei parametri 7 e sapendo che il vettore 5 •† è perpendicolare al vettore "ß "ß " ed ha modulo uguale a È#.

10) Dati tre generici insiemi , e ‚, determinare se tra —œ Ï ∪ Ï‚ e

˜œ ∪ Ï ∪‚ sussista o meno la relazione di sottoinsieme.

I Appello Sessione Estiva 2015

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione log .

0 B œ #B

B 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ! # BÄ! B

cos cos # log

; .

B #B B B B

B " /

3) Data 0 B œ / ^#B /^B determinare i due intervalli nei quali la funzione risulta invertibile e, per ciascuno di essi, l'espressione della funzione inversa.

4) Date 0 B œ / B ^B e 1 B œ B , determinare se e dove le due funzioni possono risultare asintoticamente equivalenti.

5) Data la funzione 0 B œ / ^$B #B, determinare il punto B! nel quale la retta tangente al grafico di tale funzione risulta perpendicolare alla retta di equazione B #C œ "!.

6) Determinare l'espressione del Polinomio di Taylor di terzo grado nel punto B œ " per la funzione 0 B œ / ^B"log .B

7) Calcolare ( d .

"

#B B "#

B B

(10)

8) Data la funzione 0 Bß C œ B BC $C C ^# ^# ^%, si determini la natura del suo punto stazionario.

9) Data la matrice œ B " ed il vettore •œ "ß B , determinare i valori della perB

" B

ºº ºº

i quali risulta • •† † ^Tœ !.

10) Date le proposizioni e , determinare se la proposizione cÊ 898 9 d risulta9 una tautologia.

II Appello Sessione Estiva 2015

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B " † / ^$B. 2) Determinare il valore dei seguenti limiti:

lim lim

BÄ!

&B $B B

BÄ∞ "B

/ / / " B

B ; log# .

3) Date le matrici œ " 7 # e œ , determinare i valori dei pa- 5 # "

" "

ºº ºº

â â

rametri e affinchè risulti 7 5 † œ " " .

! !

ºº ºº

4) Data log determinare il valore del parametro positivo affinchè la fun-

0 B œ " 5B 5

" 5B

zione presenti un punto di massimo in B œ ". 5) Calcolare ( sen d .

! 1B

B B

1

6) Data la funzione 0 Bß C œ B $B C #C ^$ ^# , si determini la natura dei suoi punti stazionari.

7) Date 0 B œ $B " e 1 B œ / ^B, determinare l'espressione della funzione composta J B œ 0 1 0 B , dove questa risulta invertibile nonchè l'espressione della sua funzione inversa.

8) Date le funzioni 0 B œ / ^#B" e 1 B œ / ^$B, determinare il punto B! nel quale le rette tangenti ai grafici di tali funzioni risultano tra loro perpendicolari.

9) Determinare i casi di verità o falsità della proposizione Ê / 898Í.

10) Data la funzione log si determini il suo Campo d'esistenza e si calcoli

0 B œ $ $

B ^B

poi il limite nei punti di frontiera di esso.

I Appello Sessione Autunnale 2015

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ logˆ#B B²‰.

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: 1 cos sen ; 2 3 sen .

lim lim

BÄ! BÄ∞

B B

B

B B B

B #

2 2

3) Data 1 2 1 determinare tutti i vettori per i quali 2 e tali

1 1

œ —− ‘ —† œ

! !

ºº ºº ³ ºº ºº

che l l— œ3 .

4) Date tre generiche proposizioni , e , determinare verità e falsità della proposizione: ‚ cÊ o‚d c o Ê e‚d sapendo che la proposizione Í‚ è falsa.

5) Verificare se risulta vero che ( cos d log .

1

#11

B B B œ1 #

(11)

6) Dati i due vettori di ‘³: —₁ œ Bß Cß C e —₂ œ1 Bß B Cß 1 , determinare per quali valori di e di il prodotto scalare B C —1 †—2 risulta massimo.

7) Data la funzione 1 log , dopo aver determinato il suo campo d'esistenza ed i 1 log

0 B œ B

B

suoi punti di discontinuità, si verifichi che essa, dove esiste, risulta invertibile e si determini l'espressione della sua funzione inversa.

8) Date le funzioni 0 B œ / ^#B" e 1 B œ / ^$B, determinare il punto B! nel quale le rette tangenti ai grafici di tali funzioni risultano tra loro perpendicolari.

9) Considerata la funzione 0 Bß Cß D œ C " † logD B^DC, se ne calcoli il gradiente nel punto _! œ "ß "ß # e si determini poi il valore del prodotto scalare f0 _! †•, sapendo che il vettore ha modulo pari a e che forma con • # f0 ! un angolo di *!ð.

10) Determinare, in base al Teorema di Weierstrass, massimo e minimo assoluti per la funzione 0 B œ B † / ² ^B nell'intervallo c #; 1 .d

II Appello Sessione Autunnale 2015

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ B " .

^# B

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: cos ; 2 sen .

lim lim

BÄ!

B B

BÄ∞ B

/ B B B

B $ B

#

2

3) Si considerino le seguenti due definizioni di limite:

- a b& $ & : B $ & Ê 0 B & ;

- a& ! b $ & : B $ & Ê 0 B " k k &.

Determinare a quale limite ciascuna delle due corrisponde e disegnare un possibile grafico di funzione che ammetta tali limiti.

4) Date le matrici 1 e si determini la matrice per la quale

1 3

œ # œ % ( –

# %

ºº ºº ºº ºº

risulta –† œ.

5) Determinare il valore del parametro per cui risulta 5 5 senB B œ $d . ( B

1

#1

6) Data la funzione 0 B œ B † ^$ log^#B, si determini la natura dei suoi punti stazionari.

7) Data la funzione 0 B œlog " B , trovare il campo di esistenza, il corrispondente co- B "

Œ 

dominio e determinare poi dove la funzione risulta invertibile, nonchè l'espressione della sua funzione inversa.

8) Date le funzioni 0 B œ / ^B e 1 B œ / ^5B, determinare il valore del parametro e quindi5 il punto B_! nel quale le rette tangenti ai grafici di tali funzioni risultano tra loro perpendicolari.

9) Considerata la funzione 0 Bß Cß D œ BC " †log B D , se ne calcoli il gradiente nel

D

punto _! œ #ß "ß " e si determini poi il valore del prodotto scalare f0 _! †•, sapendo che il vettore ha modulo pari a e che forma con • # f0 ! un angolo di %&ð.

10) Date le proposizioni e , siano : ’ Ê 898, “: 898Ê. Considerate le proposizioni e , si sostituisca al simbolo ’“ “’ un opportuno connettivo logico in modo da ottenere o con oppure con una tautologia.’“ “’

Appello Sessione Straordinaria II 2015

1) Determinare l'andamento del grafico della funzione 0 B œ #/ ^$B $/^#B.

(12)

2) Determinare il valore dei seguenti limiti: sen sen sen ; 2 .

lim lim

BÄ! BÄ∞

B #

B

$B #B B B

#B B $

3) Disegnare un possibile grafico di funzione che ammetta i seguenti limiti:

lim lim lim

BÄ∞ BÄ! BÄ∞

0 B œ ∞ , 0 B œ ∞ , 0 B œ " . 4) Verificare se e casomai dove risulta / œ 9 $ ^B senB.

5) Determinare il valore del parametro per cui risulta 5 " #B B œd ". ( %

"

5

6) Determinare la natura del punto stazionario della funzione 0 Bß C œ / ^{#BCB C}^# ^#.

7) Determinare il valore del parametro per il quale la funzione 5 0 B œ # À B 5

# À 5 Ÿ B

œ ^B$$#B

risulta continua a B − ‘.

8) Date le funzioni 0 B œ / ^"B e 1 B œ / ^B, determinare l'espressione della funzione composta J B œ 0 1 B , dove questa risulta invertibile e l'espressione della sua inversa.

9) Date le matrici 1 , e il vettore si determini se

œ 51 œ " # —œ "

5 " ! "

ºº ºº ºº ºº ºº ºº

esistono valori del parametro per i quali il vettore 5 †— ha modulo pari a $È#. 10) Determinare il valore del parametro ed il punto 5 B_! nel quale la retta di equazione

C œ #B 5 risulta tangente al grafico della funzione 0 B œ B #B $ ^# .