7. Esercizi di Geometria 1
(Semestre Invernale 2018/2019)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Sia X = S1× R, dotato della topologia prodotto delle topologie euclidee. Se possibile definire su X delle relazioni di equivalenza ∼1, ∼2 tali che
(1) X/ ∼1 sia compatto.
(2) X/ ∼2 non sia compatto.
Esercizio 2. Nello spazio topologico X delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi reali (dotato della topologia) euclidea si considerino gli insiemi
A = {M ∈ X| tr(M ) = 1}, B = {M ∈ X|1 ≤ tr(M ) ≤ 2}.
Stabilire se A e/o B sono compatti.
Esercizio 3. Sia R2 con la topologia euclidea. Si definisca su R2 la seguente relazione di equivalenza
(x, y) ∼ (x0, y0) ⇔ x − x0 ∈ Z e y − y0 ∈ Q.
Sia X = R2/ ∼ dotato della topologia quoziente e sia p : R2 −→ X la proiezione naturale.
(1) Sia E ⊂ R2 un aperto non vuoto e saturo rispetto a p. Si provi che se (x0, y0) ∈ E, allora (x0, y) ∈ E per ogni y ∈ R. Esibire un aperto di R2 saturo rispetto a p e non banale.
(2) Dimostrare che X non `e uno spazio di Hausdorff. `E uno spazio T1?
Esercizio 4. Sia I l’intervallo unitario [0, 1], dotato della topologia euclidea e sia J l’intervallo [0, 1] dotato della topologia i cui aperti non banali sono gli intervalli della forma [0, k) con k ≤ 1 e k ∈ R. Si denoti poi con X lo spazio prodotto J × I.
(1) Si stabilisca se X soddisfa qualche assioma di separazione Ti con i = 0, . . . , 4.
(2) Si fornisca un esempio di sottoinsime infinito di X che sia compatto, ma non chiuso.
(3) Si considerino Z := {0, 1} × I e W := J × {0, 1} si stabilisca se sono connessi e/o connessi per archi.
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