p eril
Corso di Laurea Sp ecialistic a in Ingegneria Civile
A.A.2007/08: App ello del 29/3/2008
Nome:...
N.matr.:... Ancona,29marzo2008
1. (7punti)
E datal'equazione delprim'ordine
@u
@t 1
t+1
@u
@x
=0;
1 < x < +1, t 0. Determinarne le curve caratteristiche e trovarne la
soluzioneu(x;t) con lacondizione iniziale u(x;0)=h(x).
2. (7punti) Risolverel'equazione del calorecon un termine di sorgente
@u
@t
=K
@ 2
u
@x 2
+ x;
nell'intervallo 0 x L, con le condizioni al contorno miste u(0;t) = 0 e
@u=@x(L;t)= L 2
=(2K)e lacondizione iniziale u(x;0)=h(x).
3. (7punti) Si consideri lasoluzione numerica dell'equazione di Klein-Gordon
@ 2
u
@t 2
v 2
@ 2
u
@x 2
+ 2
u=0:
Scrivere le espressioni delle derivate seconde mediante le di erenze cen-
tratealsecond'ordine;
sostituirele espressioni di cuisopranell'equazione delle onde;
studiarela stabilita dello schema numerico che ne risulta.
4. (7 punti) Discutere il problema di Cauchy p er le equazioni quasi-lineari del
prim'ordine,intro ducendo direzioni caratteristiche,curve caratteristichee su-
p er ciintegrali. Si consideri quindi l'equazione
y
@u
@x x
@u
@y
=0;
Nelcaso in cuilacondizione iniziale vengaassegnatasulla circonferenza x 2
+
y 2
=1,e assicurata l'unicita della soluzione?
5. (8punti) Si consideri l'op eratore
(L')(x)= ' 00
(x)+'(x)
nel dominio 0 x L e con le condizioni al contorno p erio diche '(x) =
'(x+L). Determinaresel'op eratoreLcosde nitoeautoaggiuntoecalcolarne
