VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 8 marzo 2018

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VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 8 marzo 2018

Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro il 15 marzo 2018 NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Verificare algebricamente che il triangolo formato dalle rette di equazioni:

x=3 ;−x+2 y+9=0 ; x+2 y−1=0

è isoscele.

Calcolare l'area di tale triangolo.

2

Risolvere il seguente sistema lineare utilizzando il metodo di sostituzione:

{ 2 x (6 y−5)=3(2 x +1)(2 y−5) 2(3 x+1)= y−1

3

Risolvere il seguente sistema lineare utilizzando il metodo del confronto:

{ ^{3 x=2+5 y} 4 x+1=3 y

4

Risolvere il seguente sistema lineare utilizzando il metodo di riduzione:

{ ⁽ 2 x−3)(3 y−x)+2 x (x−3 y )=3 y−1 2(3 x−2)−3(2 y +3)=6 y−11 x

5

Risolvere il seguente sistema lineare utilizzando il metodo di Cramer:

{ ^{(5 x−2)}

²

−5 x (5 x−2 y)=(5 x−2)(2 y−5) (3 x−5 y)

²

+ 30 x y=9(x−2)

²

+(5 y−3)

²

Argomenti di geometria analitica: punti nel piano cartesiano, distanza tra due punti, equazione esplicita della retta, equazione intrinseca della retta, coefficiente angolare, intercetta, rette parallele, rette perpendicolari. Sistemi lineari e metodi risolutivi. (Capitoli 1-2 volume Algebra 2)

VALUTAZIONE

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http://www.lacella.it/profcecchi

BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it Pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi

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1

Verificare algebricamente che il triangolo formato dalle rette di equazioni:

x=3 ;−x+2 y+9=0 ; x+2 y−1=0

è isoscele.

Calcolare l'area di tale triangolo.

Il disegno non è richiesto, ma può comunque esserci utile sia per capire la richiesta, che per rispondere alla domanda.

Le rette richieste sono rispettivamente dei colori verde, blu, rosso. Il disegno ci aiuta a capire da quale coppia di lati partire per dimostrare che il triangolo è isoscele, ovvero dalla coppia di lati AC e BC. Ci servono comunque le coordinate dei tre punti intersezioni delle tre rette (due a due).

Ricerca delle coordinate di A

{ x+2 y−1=0 ^x=3

Sostituendo la x nella seconda equazione otteniamo:

3+2 y−1=0 2 y=−2

y=−1

Dunque

A(3 ;−1)

Ricerca delle coordinate di B

{ −x+2 y+9=0 ^x=3

Sostituendo la x nella seconda equazione otteniamo:

−3+2 y+9=0 2 y=−6

y=−3

Dunque

B(3 ;−3)

Ricerca delle coordinate di C

{ −x+2 y+9=0 ^{x+2 y−1=0}

ovvero:

{ − ^{x+2 y =1} x+2 y=−9

Possiamo risolvere il sistema col metodo di riduzione:

{ − ^{x+2 y =1} x+2 y=−9 0+4 y =−8

y=−2

{ x−2 y=+9 ^{x+2 y=1} 2 x+0=10

x =5

Dunque:

C (5 ;−2)

Adesso verifichiamo che il triangolo ABC ha due lati uguali. Come preannunciato prima, aiutati dal disegno, andiamo a

(3)

calcolare le distanze tra A e C e tra B e C.

AC = √ ⁽⁵⁻³⁾

²

^+(−2+1)

²

⁼ √ 4+1= √ 5 BC= √ ⁽⁵⁻³⁾

²

^+(−2+3)

²

⁼ √ 4+1= √ 5

Possiamo confermare che si tratta di un triangolo isoscele.

A questo punto non resta che calcolare l'area del triangolo ABC.

Si osservi che

AB=∣−3+1∣=2

e che, rispetto a questa base, l'altezza del triangolo

h=∣5−3∣=2

. Concludendo, l'area richiesta è

1 2 AB×h= 1

2 × 2×2=2

2 { 2 x (6 y−5)=3(2 x +1)(2 y−5) 2(3 x+1)= y−1

Molti saranno contenti del fatto che per questa risposta dobbiamo solo fare i conti e non c'è bisogno di molti commenti.

Comunque sia, in linea di principio dovremmo lavorare le equazioni per ricondurle alla forma standard per poi scegliere il metodo da applicare. Tutto sommato, essendo obbligati dal compito ad usare il metodo di sostituzione, è assolutamente lecito puntare dritti alla risoluzione, ricavando un'incognita e sostituendo nell'altra equazione (alla fine il lavoro è grosso modo lo stesso).

Versione 1: prima mi porto alla forma standard

{

2 x ( 6 y−5)=3(2 x +1)(2 y−5)

2(3 x+1)= y−1

{ 20 x−6 y=−15 6 x− y=−3

Risolvo il sistema utilizzando il metodo di sostituzione:

{ 20 x−6(6 x+3)=−15

y=6 x+3 { 20 x−6(6 x+3)=−15

y=6 x+3 { ^{−16 x=3} y=6 x +3 { ^y=6(− ^x=− ¹⁶ ³ ¹⁶ ³ ⁾⁺³ { ^x=− ^y= ¹⁵ ⁸ ¹⁶ ³

Versione 2: inizio immediatamente la risoluzione

{ 2 x (6 y−5)=3(2 x +1)(2 y−5)

2(3 x+1)= y−1 { 6 x+3= y ^idem { 2 x (6(6 x+3)−5)=3(2 x+1)(2 (6 x+3)−5) y=6 x +3

{ 2 x (6(6 x+3)−5)=3(2 x+1)(2 (6 x+3)−5)

y=6 x +3 { ^{72 x}

²

⁺ ^{26 x=72 x}

²

+6 x+36 x+3 y=6 x+3

{ ^{−16 x=3} y=6 x +3

e a questo punto ci riagganciamo con la risoluzione precedente

{ ^x=− ^y= ¹⁵ ⁸ ¹⁶ ³

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2 bis

{ 2 x (6 y−5)=2(2 x+1)(3 y−5) 2(3 x+1)= y−1

A causa di un refuso del libro di testo, ricaduto (mea culpa) nel testo di questo compito, e della conseguente correzione al volo, esistono altre due versioni di questo sistema lineare. In questo correttore le riportiamo, ma solo nella versione 1 (passando dalla forma standard).

{ 2 x (6 y−5)=2(2 x+1)(3 y−5)

2(3 x+1)= y−1 { 12 x y−10 x=12 x y−20 x+6 y−10 6 x− y=−3

{ 10 x−6 y=−10

6 x−y =−3 { 10 x−6 (6 x+3)=−10

6 x +3= y { 10 x−36 x−18=−10

6 x+3= y { 10 x−36 x−18=−10 6 x+3= y

{ ⁶⁽⁻ ^x=− ¹³ ⁴ ^{)+3= y} ¹³ ⁴ { ^x=− ^{y =} ¹⁵ ¹³ ¹³ ⁴

2 tris

{ 2 x (6 y−5)=2(3 x +1)(2 y−5) 2(3 x+1)= y−1

Quest'ultima doveva essere la versione corretta degli autori del libro.

{ 2 x (6 y−5)=2(3 x +1)(2 y−5)

2(3 x+1)= y−1 { 12 x y−10 x=12 x y−30 x+4 y−10 6 x− y=−3

{ 20 x−4 y=−10

6 x− y=−3 { 20 x−4 (6 x+3)=−10

6 x+3= y { 20 x−24 x−12=−10

6 x+3= y { 6 x+3= y ^{−4 x=2}

{ ⁶⁽⁻ ^x=− ¹ ² ^{)+3= y} ¹ ² ^{ ^x=− ^y=0 ¹ ²

(5)

3

Risolvere il seguente sistema lineare utilizzando il metodo del confronto:

{ ^{3 x=2+5 y} 4 x+1=3 y

Il passaggio alla forma standard non comporta particolari sforzi o perdite di tempo:

{ 4 x−3 y=−1 ^{3 x−5 y=2}

Visto che siamo comunque obbligati ad usare il metodo del confronto possiamo tranquillamente saltare questo passaggio ed andare subito alla scelta dell'incognita da confrontare. Gli autori ci propongono un sistema nel quale non sembra esserci una scelta più facile di un'altra, quindi lo risolveremo confrontando entrambe le incognite.

{ ^x= ^x= ³ ³ ² ⁴ ⁺ ^y− ⁵ ³ ¹ ⁴ ^y

^{Da cui}

² ³ ⁺ ³ ⁵ ^y= ³ ⁴ ^y− ¹ ⁴

^ovvero

⁵ ³ ^y− ³ ⁴ ^y=− ³ ² ⁻ ¹ ⁴

^ovvero

20−9

12 y= −8−3

12

^ovvero

11 y =−11

ovvero

y=−1

.

A questo punto, onestamente, la cosa più facile da fare è sostituire il valore trovato della y in una qualsiasi delle due equazioni di partenza e ricavare x. Ma altrettanto onestamente tradiremmo la consegna di risolvere il sistema con il metodo del confronto (avremmo usato tale metodo solo per un'incognita su due). Inoltre qualcuno potrebbe aver deciso di applicare il confronto partendo dalla y piuttosto che dalla x. Per tutti questi motivi adesso applicheremo il confronto anche all'incognita y.

{ ^{y =} ^y= ³ ⁵ ⁴ ³ ^x− ^x+ ² ⁵ ¹ ³

^{Da cui}

⁵ ³ ^x− ² ⁵ ⁼ ⁴ ³ ^{x +} ¹ ³

^ovvero

⁵ ³ ^x− ⁴ ³ ^x= ³ ¹ ⁺ ² ⁵

^ovvero

⁹⁻²⁰ ¹⁵ ^x= ⁵⁺⁶ ¹⁵

^ovvero

−11 x=11

ovvero

x=−1

Conclusione:

{ ^x=−1 y=−1

(6)

4

Risolvere il seguente sistema lineare utilizzando il metodo di riduzione:

{ ⁽ 2 x−3)(3 y−x)+2 x (x−3 y )=3 y−1 2(3 x−2)−3(2 y +3)=6 y−11 x

Per poter utilizzare il metodo di riduzione dobbiamo per forza ricondurci alla forma standard.

{ ⁽ 2 x−3)(3 y−x)+2 x (x−3 y )=3 y−1

2(3 x−2)−3(2 y +3)=6 y−11 x { −9 y +3 x=3 y−1

17 x−12 y =13 { 3 x−12 y=−1 17 x−12 y=13

Per eliminare l'incognita y possiamo cambiare segno alla seconda equazione e poi sommare.

{ 3 x−12 y=−1

−17 x+12 y=−13

−14 x+0=−14 x=1

Per eliminare l'incognita x invece siamo costretti a moltiplicare la prima equazione per 17, la seconda per -3 e poi sommare.

{ 51 x−204 y=−17

−51 x +36 y=−39 0−168 y=−56

y= 1 3

Conclusione:

{ ^y= ^x=1 ¹ ³

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5

Risolvere il seguente sistema lineare utilizzando il metodo di Cramer:

{ ^{(5 x−2)}

²

−5 x (5 x−2 y)=(5 x−2)(2 y−5) (3 x−5 y)

²

+ 30 x y=9(x−2)

²

+(5 y−3)

²

Per poter usare il metodo di Cramer dobbiamo prima ricondurci alla forma standard.

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 8 marzo 2018