VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 9 gennaio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro le 12:45

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^E Liceo Sportivo – 9 gennaio 2018 Rispondere su un foglio protocollo e riconsegnare insieme al testo entro le 12:45

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Da un mazzo di 52 carte, ne viene estratta una. Calcola la probabilità dei seguenti eventi:

A) La carta è rossa E) La carta è un asso nero B) La carta non è una figura F) La carta è un re oppure è nera

C) La carta non è un asso G) La carta non è una figura oppure è un re D) La carta è cuori H) La carta non è il quindici di fiori

2

Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:

∣ 6 x−15∣+∣3x−3∣=12 x−∣3x−12∣

3

Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:

2−∣x−2∣

∣ 2 x−1∣−x−3 > 0

4

Considerare la disequazione

(2 k−x )(k + x)≥0

e determinare i valori del parametro k per i quali la disequazione ha soltanto soluzioni il cui valore assoluto sia minore di 1.

5

L'entità delle buste paga di una piccola azienda, nel mese di marzo 2018 saranno le seguenti:

1761 – 1452 – 1503 – 1234 – 1860 – 1560 – 1127 – 1540 – 1025 – 1578 – 1769 – 1756 1100 – 1304 – 786 – 1572 – 1583 – 1601 – 1105 – 1207– 1868 – 1470 – 859 – 1000 1759 – 1405 – 672 – 1735 – 1568 – 1324 – 1467 – 1213 – 1555 – 2941 – 1056 - 1010 Rappresenta mediante una tabella le frequenze assolute e relative, considerando classi di frequenza di ampiezza 100 €. Successivamente determina moda, mediana e media aritmetica.

VALUTAZIONE

Argomenti: compendio di tutti gli argomenti affrontati da settembre ad oggi.

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara e leggibile.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o slegata dal contesto.

È consentito l'uso della calcolatrice pura, non è consentito l'uso del telefono mobile.

Non sono consentite collaborazioni tra compagni.

Non sono consentiti scambi di materiali tra compagno, ognuno può utilizzare esclusivamente il proprio materiale, dall'inizio alla fine della prova.

Non è consentito uscire dall'aula durante la prima ora.

Il docente risponderà soltanto a domande sulla comprensione delle richieste e non confermerà o correggerà in alcun modo le risposte.

(13)

1

Da un mazzo di 52 carte, ne viene estratta una. Calcola la probabilità dei seguenti eventi:

A) La carta è rossa E) La carta è un asso nero B) La carta non è una figura F) La carta è un re oppure è nera

C) La carta non è un asso G) La carta non è una figura oppure è un re D) La carta è cuori H) La carta non è il quindici di fiori

A In un mazzo di 52 carte la metà sono rosse, dunque la probabilità richiesta è

1 2

^.

B In un mazzo di 52 carte ce ne sono 40 che non sono figure, dunque la probabilità richiesta è

40 52 = 10

13

^.

C In un mazzo di 52 carte ce ne sono 48 che non sono assi, dunque la probabilità richiesta è

48 52 = 12

13

^.

D In un mazzo di 52 carte ci sono 13 carte di cuori, dunque la probabilità richiesta è

13 52

^.

E In un mazzo di 52 carte c'è un solo asso nero, dunque la probabilità richiesta è

1 52

^.

F In un mazzo di 52 carte ci sono 4 re, ci sono anche 13 carte nere, però dobbiamo fare attenzione al fatto che due re sono neri. Dunque la probabilità richiesta è

4

52 + 13 52 − 2

52 = 15

52

. (Abbiamo applicato il teorema della probabilità totale, anche se ci ha guidato l'intuizione).

G In un mazzo di 52 carte ci sono 40 non-figure e 4 re, dunque la probabilità richiesta è

40 52 + 4

52 = 44 52 = 11

13

^.

(Anche in questo caso abbiamo applicato il teorema della probabilità totale, più o meno consapevolmente).

H In un mazzo di 52 carte non esiste la carta “quindici di fiori”, si tratta dunque di un evento impossibile e la probabilità richiesta è

0

.

2

Risolvere la seguente equazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:

∣ 6 x−15∣+∣3 x−3∣=12 x−∣3 x−12∣

In tale equazione ci sono tre espressioni contenute in altrettanti valori assoluti: studio il segno dei relativi argomenti.

La disequazione

6 x−15>0

equivale a

x> 15

6

^ovvero

x> 5 2

^.

La disequazione

3 x−3>0

equivale a

x> 3

3

^ovvero

x>1

. La disequazione

3 x−12>0

equivale a

x> 12

3

^ovvero

x>4

.

Occorre dunque studiare l'equazione in 4 casi diversi secondo gli intervalli definiti dai valori

1 ; 5 2 ;4

.

§ Caso

x<1

§ Tutti gli argomenti sono negativi.

L'equazione diventa

−6 x+15−3 x+3=12 x+3 x−12

ovvero

−6 x−3 x−12 x−3 x=−12−15−3

ovvero

−24 x=−30

ovvero

x= 30 24 = 5

4 >1

. Tale soluzione non è accettabile perché non rientra nel caso che stiamo esaminando.

§ Caso

1≤x< 5

2

§ L'argomento centrale è positivo, gli altri negativi.

L'equazione diventa

−6 x+15+3 x−3=12 x+3 x−12

ovvero

−6 x+3 x−12 x−3 x=−12−15+3

ovvero

−18 x=−24

ovvero

x= 24 18 = 4

3

Tale soluzione è accettabile perché rientra nelle condizioni del caso in esame:

1< 4 3 < 5

2

^.

§ Caso

5

2 ≤x<4

§ Il terzo argomento è negativo, gli altri sono positivi.

L'equazione diventa

6 x−15+3 x−3=12 x+3 x−12

ovvero

6 x+3 x−12 x−3 x=−12+15+3

ovvero

−6 x=6

ovvero

x=−1< 5 2

^.

Tale soluzione non è accettabile perché non soddisfa le condizioni del caso in questione.

§ Caso

x≥4

§ Tutti gli argomenti sono positivi.

L'equazione diventa

6 x−15+3 x−3=12 x−3 x+12

ovvero

6 x+3 x−12 x+3 x=12+15+3

ovvero

0=30

. Impossibile.

§ Conclusioni §

Abbiamo determinato una sola soluzione

x= 4

3

^.

3

Risolvere la seguente disequazione, descrivendo dettagliatamente il procedimento seguito:

2−∣x−2∣

∣ 2 x−1∣−x−3 > 0

§ Condizioni di esistenza §

∣2 x−1∣−x−3≠0

Nel caso

x≥ 1

2

^diventa

2 x−1−x−3≠0

ovvero

x−4≠0

ovvero

x≠4> 1 2

^.

Nel caso

x< 1

2

^diventa

−2 x+1−x−3≠0

ovvero

−3 x−2≠0

ovvero

x≠− 2 3 < 1

2

^.

Dunque dobbiamo porre come condizioni di esistenza che

x≠4∧x≠− 2 3

^.

§ Analisi degli argomenti §

Osserviamo due valori assoluti, studiamo il segno dei relativi argomenti.

La disequazione

x−2>0

equivale a

x>2

. La disequazione

2 x−1>0

equivale a

x> 1

2

. (Lo avevamo già visto nelle condizioni di esistenza).

Dunque andremo ad analizzare 3 casi diversi secondo gli intervalli definiti dai valori

1 2 ;2

.

§ Caso

x< 1

2

§ La disequazione diventa

2+ x−2

−2 x+1−x−3 >0

ovvero

x

−3 x−2 >0

ovvero

x

3 x +2 <0

. Aiutiamoci con una tabella:

x<− 2

3 x=− 2

3 − 2

3 < x<0

x=0 0<x< 1 2

x - - - 0 +

3 x+2 - 0 + + +

x

3 x +2 +

Non definita

- 0 +

Dunque abbiamo come soluzioni

− 2

3 < x<0

.

§ Caso

1

2 ≤ x<2

§ La disequazione diventa

2+ x−2 2 x−1−x−3 > 0

ovvero

x

x−4 >0

. In questo caso tale disuguaglianza non è mai verificata, visto che il numeratore è sicuramente positivo e il denominatore è sicuramente negativo. Non ci sono soluzioni.

§ Caso

x≥2

§ La disequazione diventa

2−x+2 2 x−1−x−3 > 0

ovvero

4−x

x−4 >0

ovvero

−1>0

. Impossibile.

§ Conclusioni §

Le soluzioni richieste sono

− 2

3 < x<0

4

Considerare la disequazione

(2 k−x )(k + x)≥0

e determinare i valori del parametro k per i quali la disequazione ha soltanto soluzioni il cui valore assoluto sia minore di 1.

Studiamo i segni dei singoli fattori con k fissato.

La disequazione

2 k−x>0

è equivalente a

x<2 k

. La disequazione

k + x>0

è equivalente a

x>−k

.

Con

k =0

la disequazione diventa

− x

²

≥0

che ha come unica soluzione

x=0

.

Con

k >0

abbiamo entrambi i fattori positivi per −k <x<2 k mentre sono discordi negli altri casi.

Dunque le soluzioni della disequazione sono, in questo caso

−k≤x≤2 k

.

Con

k <0

abbiamo entrambi i fattori negativi per

2 k <x<−k

mentre sono discordi negli altri casi.

Dunque le soluzioni della disequazione sono, in questo caso

2 k≤x≤−k

.

Per soddisfare la richiesta dobbiamo porre, nel caso

k >0

, che

−1<−k≤x≤2 k<1

ovvero che

k < 1 2

^.

Analogamente, nel caso

k <0

, poniamo

−1<2 k≤x≤−k<1

ovvero che

k >− 1 2

^.

Ricapitolando, per avere soluzioni x con valore assoluto minore di 1 occorre k tale che

− 1

2 <k < 1 2

^.

I più bravi non possono fare a meno di notare che equivale a scrivere

∣ k∣< 1

2

^.

5

Le entità delle buste paga di una piccola azienda, nel mese di marzo 2018 saranno le seguenti:

1761 – 1452 – 1503 – 1234 – 1860 – 1560 – 1127 – 1540 – 1025 – 1578 – 1769 – 1756 1100 – 1304 – 786 – 1572 – 1583 – 1601 – 1105 – 1207– 1868 – 1470 – 859 – 1000 1759 – 1405 – 672 – 1735 – 1568 – 1324 – 1467 – 1213 – 1555 – 2941 – 1056 - 1010

Rappresenta mediante una tabella le frequenze assolute e relative, considerando classi di frequenza di ampiezza 100 €. Successivamente determina moda, mediana e media aritmetica.

Fase 1: raccogliamo i dati nelle classi di frequenza.

Meno di 1000 – 786 –859 –672 – 1+1+1

1000-1099 – 1025 – 1000 – 1056 - 1010 4

1100-1199 – 1127 – 1100 – 1105 – 3

1200-1299 – 1234 – 1207– 1213 – 3

1300-1399 – 1304 – 1324 – 2

1400-1499 – 1452 – 1470 – 1405 – 1467 – 4

1500-1599 – 1503 – 1560 – 1540 – 1578 – 1572 – 1583 – 1568 – 1555 8

1600-1699 – 1601 – 1

1700-1799 1761 – 1769 – 1756– 1759– 1735 – 5

1800-1899 – 1860 – 1868 – 2

1900-1999 - 0

2000 e oltre – 2941 – 1

Fase 2: costruiamo la tabella

600-699 1 ¹

36

700-799 1 ¹

36

800-899 1 ¹

36

1000-1099 4 ¹

9

1100-1199 3 ¹

12

1200-1299 3 ¹

12

1300-1399 2 ¹

18

1400-1499 4 ¹

9

1500-1599 8 ⁴

9

1600-1699 1 ¹

36

1700-1799 5 ⁵

36

1800-1899 2 ¹

18

2900-2999 1 ¹

36

totale 36

Fase 3: moda, mediana e media aritmetica.

Se consideriamo i dati grezzi nel loro complesso, non ne troviamo due uguali, dunque da questo punto di vista sono tutti moda ( e questo dato non è molto interessante).

Per calcolare la mediana li ordino in ordine crescente (o decrescente) e calcolo la media aritmetica tra il 18° e il 19°

valore.

1470+1467

2 =1468,5

Per calcolare la media aritmetica senza usare un foglio elettronico devo armarmi di santa pazienza e digitare tutti i 36 dati sulla calcolatrice (sperando di non sbagliare).

Se tutto va bene otteniamo la media aritmetica M_a≈1425,69

Fase 3 bis: moda più interessante, mediana e media aritmetica più comode.

Quando i dati sono molti, si usa considerare i valori centrali di ogni fascia per approssimare i valori compresi nella fascia. Moda, mediana e media aritmetica le calcoliamo su questa tabella:

650 1

750 1

850 1

1050 4

1150 3

1250 3

1350 2

1450 4

1550 8

1650 1

1750 5

1850 2

2950 1

La moda è

1550

. La mediana è

1450

e la media aritmetica la calcolo facendo la media pesata dei valori centrali.

650+750+850+ 4×1050+3×1150+3×1250+2×1350+4×1450+8×1550+1650+5×1750+2×1850+2950

36 ≈1433,33

Ovviamente sono accettabili entrambe le risposte o anche una combinazione dei due diversi approcci.