VERIFICA DI MATEMATICA – 1^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il 7 marzo 2019
NOME E COGNOME _____________________________________________________________
1
Calcolo letterale.
Semplificare la seguente espressione nel modo più efficiente possibile (pochi passaggi ma chiari).
(2 a−b+1)(2 a+b−1)−(1+a+b)(a+b−1)−(2 a−b+1)2+3b2
2
Scomposizione di polinomi in fattori.
Scomponi in fattori i seguenti polinomi (o espressioni algebriche che possono essere trasformate in polinomi).
x2−x+2 y−4 y2 ; (x−5)2−(5 x−3)2
3
Frazioni algebriche.
Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo averne determinato le condizioni di esistenza.
12−4 x−x2
4−x2 ; 6 a2−a−1 1−4 a2
4
Equazioni.
Risolvere la seguente equazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):
x−3 x−1+ x
3−x+ 5 x−9 (x−2)2−1=0
5
Disequazioni.
Risolvere la seguente disequazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):
(1−2−x
1−x)(2 x−3)<3−x x−1
Obiettivi: ripasso generale. Gli argomenti si trovano nei capitolo 5 “monomi e polinomi” ; 6
“Scomposizione in fattori di un polinomio”; 7 “Frazioni algebriche”; 8 “equazioni”; 9 “disequazioni” Valutazione
Griglia di valutazione delle risposte.
2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.
1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.
1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.
1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.
1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.
1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.
0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.
0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.
0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.
0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.
I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova
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Non usare la “cancellina”!
Non usare la penna rossa!
1
Calcolo letterale.
Semplificare la seguente espressione nel modo più efficiente possibile (pochi passaggi ma chiari).
(2 a−b+1)(2 a+b−1)−(1+a+b)(a+b−1)−(2 a−b+1)2+3b2
Per accorciare il numero dei passaggi conviene utilizzare i prodotti notevoli, per esempio il “somma per differenza”, osservate bene come lo applico ai primi due prodotti:
...=(2 a )2−(b−1)2−((a+b)2−1)−4 a2−b2−1+4 a b+2 b−4 a+3 b2=...
Ho anche applicato lo sviluppo del quadrato del trinomio e ho distribuito subito il segno meno. A questo punto calcolo i quadrati e dove serve applico lo sviluppo del quadrato del binomio:
...=4 a2−b2+2 b−1−(a2+b2+2 a b−1)−4 a2−b2−1+4 a b+2 b−4 a+3 b2=...
Mi sono preso un passaggio in più per distribuire l'ultimo segno meno per non correre il rischio di sbagliare e anche per maggiore chiarezza.
...=4 a2−b2+2 b−1−a2−b2−2 a b+1−4 a2−b2−1+4 a b+2b−4 a+3 b2=...
A questo punto cerchiamo i monomi simili:
...=4 a2−b2+2 b−1−a2−b2−2 a b+1−4 a2−b2−1+4 a b+2 b−4 a+3 b2=...
...=−a2+4 b−1+2 a b−4 a
A questo punto non è più possibile eseguire calcoli senza conoscere i valori delle incognite e quindi ci fermiamo.
2
Scomposizione di polinomi in fattori.
Scomponi in fattori i seguenti polinomi (o espressioni algebriche che possono essere trasformate in polinomi).
x2−x+2 y−4 y2 ; (x−5)2−(5 x−3)2
Scomponiamo x2−x+2 y−4 y2 .
Si osservi che posso applicare il “somma per differenza” al primo e al quarto termine:
x2−x+2 y−4 y2=(x+2 y)(x−2 y)−x+2 y Poi raccolgo il fattore comune (x-2 y):
x2−x+2 y−4 y2=(x+2 y)(x−2 y)−x+2 y=( x−2 y )(x+2 y−1)
Quest'ultimo prodotto è la fattorizzazione richiesta. Se non ci credete fate una verifica: eseguite la moltiplicazione e constatate di ottenere il polinomio di partenza.
Passiamo a scomporre (x−5)2−(5 x−3)2 .
Ovviamente fuggiamo dalla tentazione di sviluppare i quadrati, ci porterebbe nella direzione opposta rispetto a dove vogliamo andare. Applichiamo invece il “somma per differenza” ai due quadrati, in questo modo:
(x−5)2−(5 x−3)2=(x−5+5 x−3)(x−5−5 x+3)
A questo punto devo soltanto semplificare i polinomi dentro le parentesi:
(x−5)2−(5 x−3)2=(x−5+5 x−3)(x−5−5 x+3)=(6 x−8)(−4 x−2)=−4 (3 x−4)(2 x+1) L'ultima espressione l'ho ottenuta raccogliendo 2 dalla prima parentesi e -2 dalla seconda. Abbiamo così la fattorizzazione richiesta, chi non ci crede fa la verifica. Purtroppo, in questo caso, anche la verifica può risultare complicata, infatti, dopo aver eseguito le moltiplicazioni:
−4(3 x−4)(2 x+1)=−24 x2−12 x +32 x−16=−24 x2+20 x−16
Ottengo un polinomio che non somiglia all'espressione di partenza: quindi per completare la mia verifica devo ricostruire il polinomio di partenza, oppure svilupparne i quadrati (cosa che avevo evitato di fare prima).
(x−5)2−(5 x−3)2=x2−10 x +25−25 x2+30 x−9=−24 x2+20 x+16
Effettivamente ottengo lo stesso polinomio, posso essere sicuro di aver scomposto l'espressione di partenza in modo corretto.
3
Frazioni algebriche.
Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo averne determinato le condizioni di esistenza.
12−4 x−x2
4−x2 ; 6 a2−a−1 1−4 a2
Cominciamo dalla prima: 12−4 x−x2 4−x2
Come condizioni di esistenza, devo fare in modo che il denominatore sia diverso da zero e quindi devo porre la condizione: 4−x2≠0
ovvero x2≠4
ovvero x≠2∧x≠−2 .
Per quanto riguarda la semplificazione occorre scomporre sia il numeratore che il denominatore e sperare di poter trovare nelle due scomposizioni due polinomi uguali.
Per quanto riguarda il denominatore è facile dire che 4−x2=(2+ x)(2−x ) .
La mia speranza è che uno di questi due fattori si trovi anche al numeratore. Proviamo allora a dividere il numeratore per questi due binomi. Ruffini ci viene in aiuto: provo a sostituire alla x i valori 2 e -2.
12−4(2)−(2)2=12−8−4=0 12−4(−2)−(−2)2=12+8−4=16
Il numeratore si annulla per x=2, il teorema di Ruffini ci dice che è divisibile per (x-2), dunque per fattorizzarlo eseguiamo la divisione con il metodo di Ruffini.
Siamo dunque riusciti a fattorizzare anche il numeratore: 12−4 x−x2=(x−2)(−x−6)
Passiamo ora alla semplificazione della frazione algebrica (giocando un po' anche con i segni):
12−4 x−x2
4−x2 =(x−2)(−x−6)
(2−x)(2+ x) =(2−x)( x+6)
(2−x)(2+x )=x+6 x+2
Notate come al numeratore ho cambiato segno ad entrambi i fattori: il segno del prodotto non è cambiato.
Passiamo adesso alla seconda frazione: 6 a2−a−1 1−4 a2
Perché la frazione abbia senso occorre che il denominatore sia diverso da zero e quindi che 1−4 a2≠0 ovvero a2≠1
4
Dunque le condizioni di esistenza da porre sono a≠1
2∧a≠−1 2 . Analogamente a quanto visto nel caso precedente osserviamo subito che 1−4 a2=(1−2 a)(1+2 a)=4 (1
2−a )(1
2+a)
La seconda fattorizzazione ci è utile per applicare Ruffini. Faccio dei test sul numeratore:
6(1 2)
2
−(1
2)−1=3 2−1
2−1=0 6(−1
2)
2
−(−1
2)−1=3 2+1
2−1=1
Dunque il numeratore si annulla per a=1
2 e quindi posso dividerlo per a−1 2 . Eseguiamo la divisione con il metodo di Ruffini.
Siamo riusciti a fattorizzare anche il numeratore: 6 a2−a−1=(a−1
2)(6 a+2) Passiamo ora alla semplificazione della frazione:
6 a2−a−1 1−4 a2 =
(a−1
2)(6 a+2) 4(1
2−a)(1 2+a )
=−2(3 a+1) 4 (1
2+a )
=−3 a+1 1+2 a
Approccio alternativo:
Per quanto riguarda la prima frazione 12−4 x−x2
4−x2 è possibile arrivare alla fattorizzazione del numeratore anche con il raccoglimento parziale:
12−4 x−x2
4−x2 =12−6 x+2 x−x2
(2−x)(2+ x) =6(2−x )+x (2−x)
(2−x )(2+ x) =(6+x )(2−x)
(2−x )(2+x )=6+x 2+x ovviamente fatte salve tutte le condizioni di esistenza.
4
Equazioni.
Risolvere la seguente equazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):
x−3 x−1+ x
3−x+ 5 x−9 (x−2)2−1=0
Perché l'espressione abbia senso occorre che i denominatori siano diversi da zero, per poter stabilire le condizioni di esistenza dovrò dunque risolvere le equazioni:
x−1=0 3−x=0 (x−2)2−1=0 e poi escludere dai possibili valori di x le relative soluzioni.
Le prime due sono estremamente facili e le soluzioni sono x=1 e x=3 .
La terza equazione è più insidiosa: è di secondo grado e noi non sappiamo ancora trattare in generale le equazioni di secondo grado, però potremmo ragionare in questo modo:
(x−2)2=1 significa che x−2=1∨x−2=−1 ovvero che x=3∨x=1 . Ricapitolando le condizioni di esistenza da porre sono x≠1∧x≠3 .
Possiamo finalmente cominciare a risolvere l'equazione. Avendo di fronte delle frazioni algebriche, tutto diventerebbe più semplice se le riconducessi al medesimo denominatore.
Osservate che (x−2)2−1=(x−2+1)(x−2−1)=(x−1)(x−3) avendo applicato il “somma per differenza” (ma ci si poteva arrivare anche con Ruffini, alla luce di quanto visto nella parte delle condizioni di esistenza).
Osservando gli altri due denominatori ci rendiamo conto che possiamo scrivere tutte le frazioni con denominatore (x−1)(x−3)
(x−3)2
(x−1)( x−3)+ −x (x−1)
(x−1)(x−3)+ 5 x−9 (x−1)( x−3)=0
A questo punto possiamo anche dimenticarci del denominatore:
x2−6 x+9−x2+x +5 x−9=0 ovvero 0=0
L'equazione risulta indeterminata.
Qualche pignolo potrebbe anche precisare che le soluzioni sono le x∈ℝ−{1,3}
5
Disequazioni.
Risolvere la seguente disequazione (senza dimenticare le condizioni di esistenza):
(1−2−x
1−x)(2 x−3)<3−x x−1
In questo caso le condizioni di esistenza non ci prendono molto tempo: deve essere x≠1 . Detto questo semplifichiamo il primo membro eseguendo i calcoli.
(1−x−2+ x
1−x )(2 x−3)<3−x
x−1 Ovvero ( −1
1−x)(2 x−3)<3−x
x−1 ovvero 2 x−3
x−1 <3−x x−1 Applichiamo ora il primo principio di equivalenza:
2 x−3
x−1 −3−x
x−1<0 ovvero 2 x−3−3+ x
x−1 <0 ovvero 3 x−6
x−1 <0 ovvero 3(x−2) x−1 <0
Il denominatore risulta positivo per x>1 e negativo per x<1 ; il numeratore risulta positivo per x>2 ; nullo per x=2 ; negativo per x<2 . L'intera frazione risulterà negativa nel caso in cui numeratore e denominatore siano discordi. Per poter capire meglio la situazione si può fare una specie di mappa come la seguente:
Pensiamo ai numeri sulla retta reale, le linee continue rappresentano i valori per cui l'espressione è positivo, quelle tratteggiate i valori per cui l'espressione è negativa.
A noi interessano i valori per cui numeratore e denominatore hanno segno diverso, osservando la mappa ci rendiamo conto che questo accade nell'intervallo tra 1 e 2, dove la linea del numeratore è tratteggiata e quella del denominatore è continua.
Trattandosi di una disuguaglianza stretta non ci interessano i valori per cui il numeratore è nullo.
Conclusione: l'insieme delle soluzioni richiesto è quello dei valori x tali che 1<x <2 .
