Non usare la penna rossa!Non usare la “cancellina”! 5 4 3 2 1

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^F Liceo Sportivo – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 11 aprile 2019

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Geometria

Data una corda AB perpendicolare al diametro di una circonferenza nel punto P, tracciare un'altra corda CD passante per P e dimostrare che la metà di AB è media proporzionale tra CP e PD

(Esercizio n.42 pag.361 Geometria)

2

Equazioni con valore assoluto Risolvere la seguente equazione:

∣x−2 ∣−2 ∣ x +1 ∣=3

3

Disequazioni con valore assoluto Risolvere la seguente disequazione:

∣

∣

4

Statistica

Si è svolta una prova di matematica in classe e i voti ottenuti dagli alunni sono stati i seguenti:

3 – 8 – 5 – 4 – 6 – 6 – 7 – 6 – 5 – 9 – 4 – 5 – 6 – 8 – 7 – 7 – 6 – 5 – 7 – 6

Rappresentare mediante una tabella le frequenze assolute e relative. Raffigurare la distribuzione dei voti mediante un istogramma. Determinare media aritmetica, moda, mediana, varianza e deviazione standard.

5

Geometria analitica

Disegnare nel piano cartesiano i punti seguenti. Poi calcolare le distanze AB e CD. Poi determinare le coordinate dei punti medi di BC e di AD. Poi scrivere le equazioni delle quattro rette contenenti l'origine e ciascuno di questi quattro punti.

A(1 ;3) B(−2 ; 4) C (−4 ;−6) D(3 ;−5)

Valutazione

Obiettivi: mantenimento degli argomenti di geometria; riuscire a gestire la risoluzione di equazioni e disequazioni con valore assoluto; memorizzare le principali definzioni della statistica descrittiva;

prendere confidenza con il piano cartesiano. Riferimenti principali: capitolo 8 del libro di Geometria;

capitoli 10,11 del libro di Algebra vol.1, capitolo 1 del libro di Algebra vol.2.

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova

Seguendo la pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

Non usare la penna rossa!

Non usare la “cancellina”!

1

Geometria

Data una corda AB perpendicolare al diametro di una circonferenza nel punto P, tracciare un'altra corda CD passante per P e dimostrare che la metà di AB è media proporzionale tra CP e PD

(Esercizio n.42 pag.361 Geometria)

Ipotesi: AB⊥OP P∈AB∧P∈CD

Tesi: CP :AB 2 =AB

2 : PD Dimostrazione:

La dimostrazione è quasi ovvia. Dobbiamo chiamare in causa il teorema che ci assicura che P è il punto medio di AB [teorema 9 pag.186 MultiMath Geometria] e il teorema delle corde [pag.341 MultiMath Geometria].

Per un teorema sulle proprietà delle corde di una circonferenza, dal fatto che AB è perpendicolare al diametro possiamo dedurre che P è il punto medio di AB.

Dunque AP≡PB≡AB

2 .

Inoltre, per il cosiddetto “teorema delle corde” dimostrato nel capitolo sulle similitudini, possiamo dire che i segmenti CP e PD sono gli estremi e i segmenti AP e PB sono i medi di una proporzione.

In formula: CP : AP=PB : PD .

Per quanto osservato sopra, la proporzione diventa CP :AB 2 =AB

2 : PD che è proprio la tesi.

2

∣x−2 ∣−2 ∣ x +1 ∣=3

I valori cruciali, per i quali gli argomenti dei valori assoluti cambiano segno, sono −1 ; 2 . Dunque distinguiamo tre casi.

Caso I: x≤−1

L'equazione diventa: −x+2−2(−x−1)=3 ovvero −x+2+2 x +2=3

ovvero x+4=3 ovvero x=−1

La soluzioni ottenuta è proprio quella sul “bordo”: la sua accetabilità dipende più che altro da come operiamo nella distinzione in casi, in ogni caso, facendo una verifica immediata ci rendiamo conto che effettivamente soffisfa l'equazione (e quindi anche escludendola in questo caso che la ritroveremmo nel caso successivo).

Caso II: −1≤x≤2

L'equazione diventa: −x+2−2 (x+1)=3 ovvero −x+2−2 x−2=3

ovvero −3 x =3 ovvero x=−1

Come avevamo previsto, ritroviamo la soluzione x=−1 . Caso III: x≥2

L'equazione diventa: x−2−2( x+1)=3 ovvero x−2−2 x−2=3

ovvero −x−4=3 ovvero x=−7

Tale soluzione non è accettabile, perché non rientra nell'insieme dei valori che hanno definito il caso in questione.

Conclusione:

Abbiamo trovato un'unica soluzione x=−1

3

Disequazioni con valore assoluto Risolvere la seguente disequazione:

∣

∣

Perché la frazione algebrica abbia senso occorre che x≠2 5 .

Detto questo occupiamoci del valore assoluto. Un modo veloce di cercare la soluzione potrebbe essere il seguente:

−3

5< 8 x−1 2−5 x <3

5

Anche se dalla scrittura non appare evidente, si tratta di un vero e proprio sistema di disequazioni.

Risolviamo per prima quella a destra.

8 x−1 2−5 x <3

5 ovvero 8 x−1 2−5 x −3

5<0 ovvero 8 x−1−3

5(2−5 x)

2−5 x <0 ovvero 8 x−1−6

5+3 x

2−5 x <0 ovvero

11 x−11 5

2−5 x <0 ovvero 11 x−1 5 2−5 x<0 . Disegnando una mappa dei segni:

Ci rendiamo conto che la disequazione è verificata per x<1

5∨x>2 5

Adesso occupiamoci dell'altra disequazione.

−3

5< 8 x−1

2−5 x ovvero 0<3

5+ 8 x−1

2−5 x ovvero 0<

8 x−1+3

5(2−5 x ) 2−5 x

ovvero

0<

8 x−1+6 5−3 x 2−5 x

ovvero 0<

5 x+1 5 2−5 x

ovvero 25 x+1 5(2−5 x )>0 .

Anche in questo caso disegnamo una mappa dei segni che ci chiarisce le idee, i valori che soddisfano la disequazione sono quelli tali che − 1

25<x<2 5 .

Conclusione: l'insieme delle soluzioni richiesto è l'intersezione dei due insiemi di soluzioni determinati sopra, ovvero − 1

25<x<1 5

Risoluzione alternativa:

Propongo adesso un approccio meno disinvolto ma più coerente con altre risoluzioni di equazioni e disequazioni con valore assoluto. Cercheremo di distinguere alcuni casi.

Avevamo osservato anche prima che la condizione di esistenza da imporre è x≠2 5 .

Studiamo adesso il segno della frazione dentro il valore assoluto, possiamo farlo con una mappa.

Caso I 1

8<x<2 5 .

In questo caso la frazione è positiva e quindi la disequazione diventa: 8 x−1

2−5 x<3 5

La risoluzione è la stessa vista nel precedente svolgimento, che ci porta a studiare la

disequazione 11 x−1 5

2−5 x<0 che ha come insieme di soluzioni x<1

5∨x>2

5 . Intersecando tali soluzioni con l'insieme considerato per il caso in questione otteniamo 1

8<x<1 5 .

Osserviamo anche che la disuguaglianza è verificata per x=1

8 mentre non lo è per x=1 5 . Caso II x<1

8∨x >2 5 .

In questo caso la frazione è negativa e quindi l'equazione diventa −8 x−1 2−5 x<3

5 ovvero 8 x−1

2−5 x>−3

5 . Anche in questo caso possiamo ripescare la risoluzione della precedente esposizione, che ci portava a 25 x+1

5(2−5 x )>0 il cui insieme di soluzioni è − 1

25<x<2 5 . Intersecando tale insieme con quello dei valori considerati per il caso in questione otteniamo l'insieme − 1

25<x<1

8 . Osserviamo a parte che x=− 1

25 non soddisfa la disuguaglianza.

Conclusione: l'insieme di soluzioni richiesto è quello dei valori tali che − 1

25<x<1 5

4

Statistica

Si è svolta una prova di matematica in classe e i voti ottenuti dagli alunni sono stati i seguenti:

3 – 8 – 5 – 4 – 6 – 6 – 7 – 6 – 5 – 9 – 4 – 5 – 6 – 8 – 7 – 7 – 6 – 5 – 7 – 6

Rappresentare mediante una tabella le frequenze assolute e relative. Raffigurare la distribuzione dei voti mediante un istogramma. Determinare media aritmetica, moda, mediana, varianza e deviazione standard.

Contando (con le dita) osserviamo che il numero totale dei voti attribuiti è 20. Questo totale ci servirà per calcolare le varie medie. La tabella seguente risponde ad alcune delle domande:

Nelle frequenze assolute abbiamo indicati quanti voti sono stati assegnati per ogni valore, nella riga delle frequenze relative abbiamo calcolato le percentuali.

Un istogramma che rappresenta tale distribuzione potrebbe questo nella figura accanto.

Adesso passiamo alla terza parte delle domande, la moda è il dato più ricorrente, quindi 6 che ricorre per 6 volte.

Per calcolare la mediana, essendo 20 i voti assegnati, dobbiamo calcolare la media aritmetica tra il decimo e l'undicesimo voto, in ordine di grandezza. Se osservate attentamente la tabella, potrete notare che i 7 voti più bassi sono 3,4,5 mentre dall'ottavo al quattordicesimo sono tutti 6, in particolare anche il decimo e l'undicesimo, quindi la mediana è 6.

Il calcolo della media aritmetica è sicuramente una cosa nota fin dai tempi delle scuole elementari, dobbiamo comunque fare attenzione al fatto che gli stessi voti sono stati attribuiti due volte, la media aritmetica dobbiamo calcolarla rispetto a tutti 20 voti assegnati.

3×1+4×2+5×4+6×6+7×4+8×2+9×1

20 =6 La media aritmetica è 6.

Per calcolare varianza e deviazione standard ci occorrono gli scarti quadratici, aggiorniamo la nostra tabella con ulteriori tre righe:

Nelle righe aggiunte (colorate di grigio) potete vedere gli scarti (ovvero la differenza tra il dato singolo e la media aritmetica, in valore assoluto) e gli scarti quadratici (gli scarti elevati alla

Voti: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frequenze assolute: 0 0 1 2 4 6 4 2 1 0

Frequenze relative: 0,00% 0,00% 5,00% 10,00% 20,00% 30,00% 20,00% 10,00% 5,00% 0,00%

Voti: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Frequenze assolute: 0 0 1 2 4 6 4 2 1 0

Frequenze relative: 0,00% 0,00% 5,00% 10,00% 20,00% 30,00% 20,00% 10,00% 5,00% 0,00%

Scarti: 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4

Scarti quadratici: 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16

seconda).

La varianza è la media aritmetica degli scarti quadratici, e ricordiamoci bene che gli scarti sono tanti quanti i voti assegnati, cioè 20.

σ²=9×1+4×2+1×4+0×6+1×4+4×2+9×1

20 =2,1

Infine calcoliamo la deviazione standard (detta anche scarto quadratico medio), calcolando semplicemente la radice quadrata della varianza.

σ=

√

Ricapitolando:

6 6 6 2,1 1,449138 Media aritmetica:

Moda:

Mediana:

Varianza:

Deviazione standard:

5

Geometria analitica

Disegnare nel piano cartesiano i punti seguenti. Poi calcolare le distanze AB e CD. Poi determinare le coordinate dei punti medi di BC e di AD. Poi scrivere le equazioni delle quattro rette contenenti l'origine e ciascuno di questi quattro punti.

A(1 ;3) B(−2 ; 4) C (−4 ;−6) D(3 ;−5)

La figura è stata realizzata con GeoGebra.

Si possono vedere anche alcune caratteristiche di GeoGebra che possono tornarci utili: notate per esempio che sono indicate le lunghezze dei segmenti AB e CD.

Utilizzando solo carta, penna e calcolatrice, applichiamo la formula della distanza.

AB=

√

√

CD=

√

√

Chiamando M il punto medio di BC e N il punto medio di AD, utilizziamo le formule del punto medio.

x_M=−2−4

2 =−3 ; y_M=4−6

2 =−1

x_N=1+3

2 =2 ; y_N=3−5

2 =−1

E quindi: M (−3 ;−1) N (2 ;−1) .

Infine rispondiamo all'ultima richiesta. Teniamo presente che la formula generica della retta che contiene l'origine è y=m x .

Per determinare l'equazione richiesta ci basta sostituire le coordinate del punto in modo da determinare il coefficiente angolare.

Per quanto riguarda la retta contenente il punto A: m=y x=3

1=3 e quindi l'equazione richiesta è y=3 x .

Analogamente la retta passante per B ha equazione y=−2 x ; la retta passante per C ha equazione y=3

2x e infine la retta passante per D ha equazione y=−5 3 x .