Esercitazione guidata 5 novembre 2010
1. Data A ∈ Mn(k) tale che A2= A, provare che An = A, ∀ n ∈ N. Scrivere I26= A ∈ M2(R) tale che
A2= A.
2. Siano G un gruppo e g ∈ G tale che g2= g, provare che allora g = e.
3. Siano G un gruppo e x, y ∈ G tali che (xy)2= x2y2, provare che allora xy = yx. Scrivere un gruppo
non commutativo G e due elementi x, y ∈ G che commutano. 4. Provare che date A ∈ Mm,n(k), B ∈ Mn,m(k) si hat(AB) =tBtA.
5. Determinare gli z ∈ C tali che z7= z.
6. Disegnare sul piano di Argand Gauss i numeri complessi tali che z3∈ R.
7. Dire se esiste un polinomio di terzo grado p(X) ∈ R[X] che abbia 1 + i e 1 + 2i come radici. Dire se ne esiste uno di quinto grado.
8. Dire se i vettori v1 = (1, 0, 1, −1), v2 = (2, 1, 0, 1), v3 = (2, 1, 2, 1), v4 = (−1, 0, 1, 1) ∈ R4 formano
un sistema di generatori di R4, scrivere un sistema di generatori che contiene v
1, v2, v3.
9. Dati i punti A = (2, 0), B = (1, 2), C = (−1, 2), D = −(2, 0), E = (−1, −2), F = (1, −2), deter-minare l’area del poligono convesso da essi delimitato.
10. Dati i 4 punti P1= (0, 0, 0), P2= (0, 1, −1), P3= (1, 1, 0). P4= (1, 2, −1)
a) provare che sono complanari, ma non allineati; b) trovare il piano che li contiene;
c) provare che i 4 punti sono i vertici di un parallelogramma che ha i lati uguali, ma non `e un quadrato.
