7. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2017)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Sia
σ : (0, π) −→ R2, t 7→ (sin t, cos t + log tan t 2) una parametrizzazione della curva trattrice.
(1) Determinare la lunghezza d’arco di σ a partire da t0 = π2 (2) Calcolare, dove `e definita la curvatura di σ.
Esercizio 2. In R2 si consideri la circonferenza S1 di raggio a e centro (a, 0).
Siano y e l le tangenti a S1 in O := (0, 0) e (2a, 0) rispettivamente. Sia r una semiretta uscente da O e siano C il punto di intersezione tra r e S1 e B tra r e l. Sul segmanto OB si considerino i segmenti OP e CB di uguale lunghezza.
Facciamo ora ruotare r attorno a 0 la curva descritta dal punto P `e detta cissoide di cissoide di Diocle.
(1) Si provi che la traccia di
σ : R −→ R2, t 7→ ( 2at2
1 + t2, 2at3 1 + t2)
`e la cissoide.
(2) Si dimostri che O `e punto singolare per σ.
(3) Si dimostri che per t −→ ∞ la curva σ(t) ha come asintoto la retta x = 2a.
Esercizio 3. Detreminare curvatura di un’ellisse di semiassi a, b > 0.
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