Geometria Differenziale Esercizi 2
1 (a) Si consideri l’evoluta
ε(t) = α(t) + 1
κ
2(t)Jα′(t) kJα′(t)k
di una curva α . Verificare che il vettore tangente ε′(t) `e parallelo a Jα′(t) . Dedurre che la retta tangente a ε `e una retta normale a α . (b) Verificare che l’evoluta della parabola α(t) = (t, t2) `e una parabola semicubica dell’equazione x2 = a(y − b)3 dove a, b sono costanti.
2 Sia β : I → R2 una curva parametrizzata da lunghezza s = t > 0 con
κ
2 > 0 . Una seconda curva `e definita ponendo α(t) = β (t) − t β′(t).(a) Verificare che
(i) Jα′/kJα′k = β′;
(ii) la curvatura di α `e uguale a 1/t ;
(iii) l’evoluta di α non `e altro che la curva β .
(b) Disegnare la traccia di α per 0 6 t 6 2π quando β (t) = (cos t, sin t) .
3 La curva
γ(t) = (t − sin t, 1 − cos t), t ∈ R,
`e un esempio di una cicloide. Calcolare la curvatura di γ e verificare che l’evoluta ε di γ `e un’altra cicloide (parametrizzata come la funzione γ , ma con segni diversi).
