9. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2019)
Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Siano A := {(u, v) ∈ R2|0 < v < 2π} e A0 := {(u0, v0) ∈ R2|0 <
v0 < 2π}. Si considerino le applicazioni
P : A −→ R3, (u, v) 7→ (x, y, z), e
Q : A0 −→ R3, (u0, v0) 7→ (x, y, z), tali che:
P (u, v) = (Ch(u) cos(v), Ch(u) sin(v), u);
Q(u0, v0) = (u0cos(v0), u0sen(v0), v).
(1) Si provi che P e Q sono parametrizzazioni di due fogli semplici di super- ficie S ed S0.
(2) Si provi che l’applicazione ϕ : A −→ A0 tale che u0 = Sh(u), v0 = v, definisce un’isometria tra S ed S0 e si determini la natura dei punti di S e di S0.
(3) Si considerino le linee coordinate di S e di S0 e si stabilisca quali di esse sono curve piane.
(4) Si considerino le linee coordinate di S e di S0 e si stabilisca quali di esse sono geodetiche.
(5) Si determinino le linee asintotiche di S.
Esercizio 2. Si consideri l’applicazione
ϕ : R2 −→ R3, (u, v) 7→ (u − v, u + v, cos(u − v)).,
(1) Si provi che ϕ definisce un foglio semplice di superficie S e si determini la natura dei suoi punti.
(2) Si determinino le curvature e le direzioni principali di S nel punto ϕ(0, 0).
(3) Si considerino le due famiglie di curve Ch e Dk, tracciate su S, di equa- zioni: u = t, v = t + h; u = τ, v = −τ + k, al variare dei parametri reali h e k (t, τ ∈ R). Per ogni coppia di numeri reali (h, k) si determini il punto Phk di intersezione tra Ch e Dk e si provi che Ch e Dk si tagliano ortogonalmente in Phk.
(4) Si provi che una delle due famiglie di curve del punto 3) `e costituita tutta da linee asintotiche per S.
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Esercizio 3. Si consideri la superficie S in R3 data dalla seguente parametriz- zazione globale:
ϕ : (0, π) × R −→ R3, (u, v) 7→ ( 1
√2cos u + v, sin u, 1
√2cos u − v).
(1) Si determini la natura dei punti di S.
(2) Per ogni punto p di S si determinino le due direzioni principali e le relative curvature principali.
(3) Si determinino curvatura e torsione della curva C tracciata su S indivi- duata sul piano (u, v) dall’equazione v = 0.
(4) Stabilire se u `e il parametro d’arco di C.
(5) Per ogni p ∈ S si determini la curvatura normale lungo le due direzioni uscenti da p e formanti un angolo di π/4 con le direzioni principali in p.
