CAPITOLO 1

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Tesi di Laurea: ‘Un modello di cellula biologica…’

CAPITOLO 1

In questo capitolo viene proposto un modello di cellula biologica, già esistente in letteratura, che verrà in seguito sfruttato per le simulazioni.

Vengono prima esposte le proprietà dielettriche del modello cellulare considerato e in seguito la teoria relativa al rilassamento dielettrico.

1.1. Modello cellulare

Si è interessati ad un’area molto piccola del corpo umano e quindi si è sviluppato un modello dielettrico costituito da una sequenza di mezzi stratificanti.

Un modello di cellula biologica molto semplice è costituito da una sottile membrana a bassa conducibilità che circonda l’interno della cellula o citoplasma, ed è immersa in un mezzo conduttivo (figura1.1).

In questo modello non sono incluse però alcune proprietà della membrana e gli effetti dovuti agli strati di ‘ counterion ’ (controioni) che possono essere importanti sotto certe condizioni, ad esempio qualora la cellula fosse circondata da un debole elettrolita.

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Klee e Plonsey [1] hanno analizzato la cellula a forma sferoidale la cui superficie è definita in una notazione di coordinate cartesiane ortogonale, dalla seguente espressione: 1 2 2 2 2 2 2 = + + c z b y a x .

Si parla di forma “Prolate” se a<c, di forma ”Sferica” se a=c e infine di quella “Oblate” se a>c [2]. Le cellule prolate od oblate non sono altro che cellule sferiche deformate.

Nello schema seguente sono riportate le tre geometrie.

Cellula Prolate Cellula Sferica Cellula Oblate Un modello leggermente più complesso è quello a cinque strati, costituito da quattro strati concentrici ed un mezzo extracellulare esterno. Gli strati rappresentano il citoplasma, la membrana cellulare, uno strato d’acqua legata sulla membrana nel lato interno alla cellula, ed infine uno strato d’acqua legata alla membrana sul lato esterno, come mostrato in figura 1.2.

Figura 1.2.Modello di cellula a 5 strati.

Per una situazione più realistica e quindi per tener conto delle cellule adiacenti, si prendono in considerazione i cosiddetti “Cluster”, ovvero gruppi di singole cellule

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connesse elettricamente da “gaps” o giunzioni, modellati come canali riempiti di citoplasma attraverso due membrane adiacenti. I gaps non sono altro che dei pori acquosi nella membrana cellulare e permettono lo scambio di sostanze tra le cellule adiacenti, che in pratica provvedono alla comunicazione intracellulare.

Alcuni studi hanno osservato che proprio la distruzione di queste comunicazioni intracellulari sono la causa d’alcune malattie, incluso il cancro.

1.2. Proprietà dielettriche

Da un punto di vista elettrico, i tessuti biologici si comportano, a seconda della frequenza e del tipo di tessuto, come dielettrici con più o meno perdite o come conduttori più o meno buoni; il loro comportamento è descritto da due grandezze fondamentali: la conducibilità elettrica σ e la costante dielettrica assoluta ε . Un materiale si comporta tanto più da buon conduttore quanto più alta è la sua tangente di perdita, definita da:

ε π σ f perdita di tg 2 =

dove f è la frequenza. I tessuti biologici non possiedono invece proprietà magnetiche significative, quindi non interagiscono direttamente col campo magnetico (sono pressoché "trasparenti al campo magnetico").

Oltre alle proprietà dielettriche primarie del tessuto biologico, si possono considerare anche quelle derivate: la lunghezza d’onda λ , la profondità di penetrazione δ e l’angolo di perdita γ .

K.R. Foster e H.P. Schwan [3] sono stati tra i primi ad analizzare le proprietà dielettriche dei tessuti e dei materiali biologici per il più semplice modello di cellula, quella di forma sferica.

In seguito Cole, Pethig, Scranne ed altri hanno pubblicato diversi articoli riguardanti le proprietà dei tessuti e delle sospensioni delle cellule; in particolare i fratelli Stuchly hanno pubblicato un vero e proprio tabulato delle proprietà di varie sostanze biologiche.

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1.2.1. Definizioni e concetti di base

La permittività dielettrica ε e la conducibilità σ del materiale sono delle costanti che indicano rispettivamente la carica e la densità di corrente indotta come risposta ad un campo elettrico applicato d’ampiezza unitaria. Definizioni di questo genere, di solito, sono illustrate a partire da un condensatore ad armature piane. Le armature, di superficie A, sono poste a distanza d e contengono il materiale sotto esame (figura 1.3).

Figura 1.3. Circuito equivalente di un condensatore ad armature parallele riempite

di materiale con permittività ε e conducibilità σ .

Applicando tra le armature una differenza di potenziale V, su esse verrà indotta una densità di carica D, che nel caso più semplice in cui il materiale è il vuoto, è:

d V

D₌ ε0 _{, (1.2.1)} dove ε₀è la permittività del vuoto, pari a 8.85_×10−12 F m_{. La capacità C è il} rapporto tra la carica totale indotta sulle armature e la tensione applicata:

d A

C ₌ε0 _{. (1.2.2)} Interponendo tra le due armature un materiale qualsiasi, bisogna prendere in considerazione anche un’altra densità di carica P , dovuta alla polarizzazione delle _S cariche con il materiale.

Per tensioni sufficientemente basse, la densità di carica risulta essere proporzionale all’intensità del campo elettrico E:

E P

E

D=ε₀ + _S =ε₀ε_S (1.2.3) e allora, la capacità diventa:

d A

C ₌ε0εS _(1.2.4)

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In realtà, il circuito equivalente del condensatore include, in parallelo alla capacità C, anche una conduttanza G:

d A

G₌σS _{, (1.2.5)}

con σ_S conducibilità statica del materiale.

Qualora siano presenti processi di rilassamento, la risposta del materiale ad un gradino di tensione è funzione del tempo, e la permittività e la conducibilità vengono calcolate dalle equazioni (1.2.3) e (1.2.5).

La risposta ad un’eccitazione sinusoidale è, invece, caratterizzata da proprietà dielettriche

( )

ε,σ che variano con la frequenza. A frequenza ω l’ammettenza complessa _{Y può essere scritta tramite la seguente relazione:}∗

(

)(

σ ωε ε

)

ωC A d j ₀

j G

Y∗ = + = + _{, (1.2.6a)} da cui si può definire la conducibilità complessa del materiale:

ε ωε σ

σ∗ = + j ₀ _{. (1.2.6b)} In modo equivalente si può definire la capacità complessa C : ∗

ω

j Y

C∗ ₌ ∗ _{, (1.2.7a)} che porta alla definizione della permittività relativa complessa:

0 ωε σ ε ε ε ε∗ = ′− j ′′= ′− j _{. (1.2.7b)} Le due proprietà sono tra loro legate da una semplice relazione:

∗ ∗ ₌ _ωε _ε

σ j ₀ . (1.2.8) Infine, scrivendo l’impedenza equivalente come l’inverso dell’ammettenza complessa _{Y :}∗

( )

2 2 _C G C j G jX R Z ω ω + − = + = ∗ _{, (1.2.9a)} si ricava l’impedenza complessa specifica del materiale:

(

)

2 0 2 0 1 ε ωε σ ε ωε σ σ + − = = ∗ ∗ j z . (1.2.9b)

La conducibilità σ ha una parte indipendente dalla frequenza, dovuta in particolar modo alla conduzione ionica, e una parte dipendente dalla frequenza, indicata spesso con ε′′ (“perdita del dielettrico”) dovuta al rilassamento dielettrico.

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Per maggiore chiarezza, ε′′ è equivalente a σ ωε₀, doveσ è la conducibilità misurata.

L’inverso della conduttanza 1σ indica la “resistività”ρ, che non corrisponde però alla parte reale dell’impedenza del tessuto _{z .}*

Le proprietà dielettriche sono rappresentate in diversi modi, in base allo studio che si deve affrontare.

Nella letteratura meno recente d’impronta fisiologica, gli autori prediligono rappresentare tali proprietà in una forma equivalente serie (impedenza del tessuto) piuttosto che in quella parallela (permittività complessa). Per esempio, i processi più importanti, quali l’accumulo della densità di carica o la conduzione elettrica, avvengono in parallelo e quindi è più logico rappresentare le proprietà come combinazione parallela d’elementi capacitivi (permittività) e conduttivi (conducibilità).

Spiegare le proprietà dielettriche tramite un condensatore ideale è significativo solo alle frequenze con una lunghezza d’onda λ maggiore rispetto alle dimensioni del capacitore.

A frequenze relativamente basse i circuiti reali hanno effetti parassiti che possono essere modellati come elementi in serie.

1.2.2. Teoria generale del rilassamento

La risposta del materiale ad un gradino di tensione implica il dislocamento fisico della carica, la cui cinetica determina la dipendenza delle proprietà dalla frequenza. La risposta può essere o il rilassamento o la risonanza in natura. Soffermiamoci sugli effetti del rilassamento.

La polarizzazione elettrica può essere definita come il campo elettrico indotto che modifica la distribuzione di carica; non avviene istantaneamente e per questo vi si associa una costante di tempo, chiamata tempo di rilassamento τ .

La costante τ dipende dal processo fisico in esame e ha un ordine di grandezza che varia da alcuni picosecondi per l’orientamento degli elettroni e delle piccole molecole dipolari, fino ad arrivare a qualche secondo per gli effetti dei controioni o per la polarizzazione interfacciale.

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Gli effetti di rilassamento sono descritti tramite equazioni differenziali del primo ordine e portano alla determinazione della singola costante di tempo. Nei materiali fisici e biologici reali, i diversi processi di rilassamento avvengono in parallelo e la risposta elettrica totale è caratterizzata da diverse costanti di tempo.

Nel caso più semplice, allora, la polarizzazione ‘ rilasserà ’ verso uno stato d’equilibrio come un processo del primo ordine caratterizzato da un tempo di rilassamento τ :

(

)

_       − − + = _∞ _∞ −τ t e D D D D ₀ 1 , (1.2.10a)

dove D_∞ è la risposta istantanea che potrebbe nascere in un sistema reale dalla polarizzazione della nube elettronica (processo relativamente veloce), mentre D è ₀ la risposta dopo l’applicazione del gradino.

La risposta dielettrica del sistema del primo ordine può essere ottenuta nel dominio della frequenza mediante la trasformata di Laplace:

(

)

τ ω ε ε ε ε 1 * j s + − + = ∞ ∞ , (1.2.10b) dove ε_∞ si riferisce alla permittività a frequenza infinita dovuta alla polarizzazione elettronica.

Si può espandere il modello includendo la conducibilità statica σ_s:

(

)

τ ω σ τ ω ε ε ε ε 1 * s s j − + − + = ∞ ∞ . (1.2.10c) Scrivendo tale relazione in termini di parte reale e parte immaginaria si ha:

ε ε ε* = ′− j ′′_{, (1.2.11a)} con

(

)

( )

2 1 ωτ ε ε ε ε + − + = ′ ∞ ∞ s ,

(

)

( )

2 0 1 ωτ τ ω ε ε ε ω σ ε + − + = ′′ s s ∞ _{, (1.2.11b)}

(

)( )

( )

2 2 1 ωτ τ ω ε ε σ σ + − + = ∞ s s . (1.2.11c)

(8)

I valori limite ε_∞, ε_s, σ_∞, σ_s sono legati dalla seguente relazione:

(

)

s s _σ _σ τ ε ε ε − = − ∞ ∞ 0 _{, (1.2.12)} e, come si può notare, permittività e conducibilità non possono variare indipendentemente l’una dall’altra.

Anche la densità di corrente dipende dal tempo:

(

)

_       − − + =σ_∞ σ σ_∞ −τ t s e E J 1 , (1.2.13) e questo si trasforma nell’ammettenza, simile all’equazione (1.2.10b):

(

)

ωτ σ σ ε ε ω σ σ j s + − + + = ∞ ∞ ∞ 1 0 * _{, (1.2.14)} dove si è incluso il termine ωε_∞ε₀ per tenere conto dell’effetto del rilassamento, non preso in considerazione nell’equazione (1.2.13).

Figura 1.4. Permittività e conducibilità in funzione della frequenza

La figura 1.4 mostra la variazione della permittività e della conducibilità con la frequenza per una singola costante di rilassamento.

Alla frequenza caratteristica, o di rilassamento f_c =2πτ, la permittività assume un valore intermedio tra i valori ad alta e bassa frequenza. Alternativamente la frequenza di rilassamento potrebbe essere considerata come quella frequenza alla quale la conducibilità assume il valore medio tra i due valori limite.

Per la singola costante di tempo di rilassamento, queste due frequenze sono le stesse; sono invece differenti se si ha una distribuzione dei tempi di rilassamento.Il comportamento del rilassamento dielettrico può essere raffigurato nel piano delle ammettenze complesse normalizzate _Y*_{o in modo equivalente nel piano delle} conducibilità complesse.

(9)

L’equazione (1.2.14) può essere trasformata nella seguente espressione:

(

)

[

]

[

(

)

]

[

(

)

]

2 0 2 0 2 2 2 ωε ε ε ε ε ε τ σ σ σ − _s − _∞ + ′− _∞ = _s − _∞ . (1.2.15) Il grafico di ωε₀

(

ε′−ε_∞

)

, in funzione di σ , è una circonferenza centrata in

(

− _∞

)

2

= σ σ

σ _s , in cui solo i valori positivi hanno un significato fisico.

Alla frequenza di rilassamento, dove ω =2π f_c =1τ, l’ordinata diventa

(

ε′−ε∞

)

ε

ω ₀ che corrisponde proprio al picco del semicerchio. Analogamente, nel piano delle permittività si ha:

(

)

[

] [

]

2

[

(

)

]

2 0 2 ₂ 2 _∞ ∞ + ′′− = − − − ′ ε ε ε σ ωε ε ε ε _s _s _s . (1.2.16)

Il grafico di ε′′−σ_s ωε₀ in funzione diε′ è, come prima, una semicirconferenza con il centro sull’asse reale nel punto

(

ε_s −ε_∞

)

2 (figura 1.5).

Figura 1.5. La linea tratteggiata indica la perdita del dielettrico

in funzione della frequenza normalizzata a quella caratteristica.

Nel caso in cui sia presente una distribuzione dei tempi di rilassamento, i grafici nei piani della permittività o della conducibilità non sono dei semicerchi centrati sull’asse reale, ma assomigliano di più ad archi ‘trasversi’, o archi semicircolari centrati al di sotto dell’asse reale. In questo caso, le frequenze di rilassamento, ottenute dai picchi delle curve, sono differenti: il valore più alto si ottiene nel piano dell’ammettenza complessa.

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Nel piano delle impedenze le curve sono generate da quelle nel piano delle ammettenze tramite la trasformazione Z =1Y , corrispondente ad un “conformal mapping”. In questo modo, una circonferenza nel piano delle ammettenze corrisponde ad una circonferenza in quello delle impedenze. Le frequenze di rilassamento saranno, in ogni caso, differenti per il rapporto σ_∞ σ_s .

Un caso particolare si ha quando ε e σ sono indipendenti dalla frequenza: il grafico nel piano delle ammettenze è semplicemente una linea retta che interseca l’asse reale in σ e questo è una circonferenza di raggio infinito che viene trasformata nel piano delle impedenze in una circonferenza che si avvicina all’origine.

1.2.3. Distribuzione dei tempi di rilassamento

Molto più complicato rispetto al sistema con una singola costante di tempo è il comportamento del rilassamento dielettrico di molte sostanze, che nasce dall’esistenza di processi di rilassamento ciascuno con un differente tempo di rilassamento, o da processi la cui cinetica non è del primo ordine.

In genere, la risposta dielettrica è rappresentata come una combinazione di processi del primo ordine:

... 1 1 1 2 2 1 _+       − +         − + = _∞ −τ −τ t t e D e D D D , (1.2.17) o

( )

... 1 1 ₂ 2 1 1 * ₊ + ∆ + + ∆ + = _∞ ωε ε ωε ε ε ω ε j j . (1.2.18) Se i tempi di rilassamento sono tali che τ₁ <<τ₂ <<τ₃, il grafico di ε e σ in funzione della frequenza mostrerà dispersioni separate da plateaux a frequenze intermedie.

Nel piano delle permittività, il grafico di ε′′−σ_s ωε₀ in funzione diε′ non è altro che una serie di semicerchi, ciascuno con il centro sull’asse reale che intersecano l’asse stesso nei punti ε_∞ ,ε_∞ +∆ε₁ ,ε_∞ +∆ε₂ ,...

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A questo punto l’equazione (1.2.18) può essere riscritta con un integrale:

(

) ( )

0 0 * 1 ωτ σ ωε τ τ ε ε ε ε _s j _s j d p ₋ + − + = _∞ _∞

∫

∞ , (1.2.19) dove

( )

∫

∞ = 0 1 τ τ d p . (1.2.20) In assenza di fenomeni di risonanza, l’equazione (1.2.19) rappresenta proprio tutti i dati del rilassamento dielettrico a condizione che si scelga una appropriata funzione distribuzione.

La difficoltà del problema dipende dalla natura dell’informazione che si vuole. Il problema è complicato per diverse ragioni: primo, l’interpretazione dei dati potrebbe dipendere dalla forma della distribuzione che non è nota; secondo, gli effetti biologici possono far sorgere una distribuzione dei tempi di rilassamento.

In ogni modo, un valido approccio potrebbe essere quello di dedurre la funzione distribuzione e i relativi meccanismi fisici. L’interpretazione viene facilitata se il rilassamento è caratterizzato dalla sovrapposizione di componenti separate nel tempo, come per esempio, nel caso del rilassamento dielettrico delle cellule di sospensione, che è caratterizzato da processi di rilassamento distinguibili nel range delle frequenze audio - radio e delle microonde.

Sono state proposte molte funzioni per essere adattate ai dati dielettrici. Tra queste ci sono quelle ottenute dai tentativi di modellare i processi fisici oppure quelle delle semplici funzioni empiriche, che servono per parametrizzare i dati senza la conoscenza dei meccanismi coinvolti.

Una funzione empirica molto usata è stata proposta dai fratelli Cole, [4], [5], ed è basata sulla teoria del rilassamento di Debye, il primo ad aver trattato tale fenomeno. In figura 1.6 è rappresentato il circuito equivalente che modella l’equazione di Debye.

(12)

Figura 1.6. Circuito equivalente dell’equazione di Debye. La funzione di Cole-Cole è:

(

)

(

)

1 0 * 1 σ ωε ε ε ε ε _α _s c s _j f f j − + − + = ∞ ₋ ∞ , (1.2.21) con parte reale e parte immaginaria:

(

)

(

)

(

)

( ) ₂

₍

₎

₍

₂

₎

1 2 1 1 1 2 1 απ απ ε ε ε ε α α α sen f f f f sen f f c c c s − − − ∞ ∞ + + + = − − ′ , (1.2.21a)

(

)

(

)

(

)

( ) ₂

₍

₎

₍

₂

₎

1 2 cos 1 1 2 1 0 απ απ ε ε ωε σ ε α α α sen f f f f f f c c c s s − − − ∞ + + = − − ′′ . (1.2.21b)

In realtà tale relazione è una generalizzazione dell’equazione di Debye, avente lo scopo di tenere conto, mediante l’introduzione di un altro parametro α (compreso tra 0 e1), dell’allargamento della regione di dispersione dovuto alla complessità della struttura e della composizione dei materiali biologici. Si noti che per α =0 le (1.2.21) si riconducono esattamente all’equazione di partenza di Debye.

Nel piano della permittività complessa la funzione di Cole-Cole è rappresentata con una serie di curve semicircolari. Il grafico di σ −σ_s ωε₀ in funzione di ε′, descrive un arco semicircolare:

(

)

[

(

)

]

2 2 1 2 1 y r y r x x− + + − = , (1.2.22) dove

(

′− ∞

) (

− ∞

)

= ε ε ε_s ε x , x₁ =1 2,

(

′′−

) (

− ∞

)

= ε σ_s ωε ε_s ε y ₀ ,

_[

(

₍

)

₎

_]

2 1 2 2 cos 1 _απ απ sen y + = ,

(

)

[

_cos ₂

]

1 2 − = απ r .

(13)

Il picco della curva corrisponde alla principale frequenza di rilassamento f_c. Una retta che parte dal centro e interseca l’asse orizzontale, forma con la verticale un angolo di

(

1−α

)

π 2 radianti, come si vede in figura 1.7.

Figura 1.7. Permittività complessa dell’equazione Cole-Cole (eq. 1.2.21).

L’arco semicircolare è caratteristico di molti materiali biologici.

Figura 1.8. Permittività e conducibilità.

La linea tratteggiata indica il corrispondente rilassamento di Debye. Il parametro α =0.6corrisponde ad un ampio range dei tempi di rilassamento.

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La funzione distribuzione p

(

ln

( )

τ

)

corrispondente alla funzione Cole-Cole è:

( )

[

]

_[

₍

_{) (}

( )

₎

_]

_{( )}

cos ln 1 cosh 2 1 ln 0 απ τ τ α απ π τ − − = sen p , (1.2.23) dove

(

)

1 0 2 − = π f_c

τ è il principale tempo di rilassamento. Tale funzione è simmetrica rispetto a τ₀.

I dati provenienti dai tessuti e dai materiali biologici possono essere adattati alla funzione Cole-Cole con un angolo α che varia tra 0.3 e 0.5. Questo indica uno spettro molto ampio dei tempi di rilassamento, e le corrispondenti funzioni distribuzione hanno larghezze differenti tra loro di un fattore che varia da 12 a 194. Un’analoga funzione per le proprietà dielettriche si può scrivere nel piano delle conducibilità:

(

)

(

σ σ

)

ωε ε σ σ* ₁ _α ₀ 1 j f f_c j s ₊ − + − + = ∞ ₋ ∞ , (1.2.24) o in quello delle impedenze complesse:

(

)

(

)

1 1 * α − ∞ ∞ + − + = c s f f j R R R z . (1.2.25)

Queste equazioni sono formalmente simili ma non equivalenti. Alcune possono essere usate per sommare le proprietà dielettriche dei tessuti in un ampio range di frequenze.

Nel piano delle ammettenze la circonferenza può essere scritta in questo modo:

(

)

(

)

1 1 * α ωτ σ σ σ ∞₋ ∞ + − + = j y s _⇒

(

)

1 * * α ωτ σ σ − ∞ = − − j y y s _{. (1.2.26)}

L’equazione (1.2.26) può essere scritta in un’altra maniera:

(

)

1 s * * α ωτ σ σ ρ ρ ∞ − ∞ = − − j Z Z _s , (1.2.27) e confrontata con la circonferenza nel piano delle impedenze:

(

)

1 * * α τ ω ρ ρ − ∞ ′ = − − j Z Z _s , (1.2.28)

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dove ρ_s e ρ sono i valori limite della resistività rispettivamente a bassa ed alta _∞ frequenza. Le costanti di tempo τ e τ′ sono diverse, infatti

s 1 σ σ τ τ α ∞ − =       ′ .

Nel piano delle impedenze, la frequenza di picco della circonferenza è sempre più bassa rispetto a quella nel piano delle ammettenze.

Le proprietà dielettriche di molti tessuti possono essere adattate alle equazioni (1.2.21), (1.2.24) o (1.2.25) e questo implica un comportamento dell’impedenza del tessuto con un angolo a fase costante.

1.2.4. Meccanismi del rilassamento dielettrico

Le proprietà dielettriche dei tessuti e delle sospensioni delle cellule sono molto insolite per diverse ragioni, elencate nel seguito.

1. A prima vista, sembrano avere le stesse caratteristiche dei sistemi frattali. La dipendenza di ε e σ dalla frequenza può essere approssimata da una risposta caratterizzata da un angolo di fase indipendente dalla frequenza.

2. I cambiamenti con la frequenza si hanno in tre punti differenti: a bassa frequenza, a radio frequenza ed infine alle frequenze dei GHZ e vengono denominate rispettivamente α ,β, γ .

3. Rispetto al vuoto le costanti dielettriche raggiungono valori elevati a basse frequenze.

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La dispersione β

In genere, questa dispersione si ha in un range di frequenze che va da 0.1 a 10 MHz. Il meccanismo, analizzato da Hugo, Fricke e K.S. Cole [6], è stato riconosciuto come un rilassamento Maxwell-Wagner causato da una struttura cellulare composta di una membrana poco conduttiva che separa il citoplasma dallo spazio extracellulare. La costante di tempo del processo deriva dalla teoria del potenziale Laplaciano ed è determinata dalla capacità della membrana, dal raggio della cellula e dalla resistività del fluido.

Esistono altri effetti che contribuiscono a questa dispersione:

a. Gli effetti causati dalle proteine e in minor parte dai residui amminoacidi,

b. piccoli contributi Maxwell-Wagner causati dagli organuli nella cellula, tra i quali il nucleo e i mitocondri.

La dispersione γ

L’effetto γ è stato notato per una varietà di tessuti e soluzioni proteiche sopra 1GHz. Tale fenomeno non è inaspettato visto che l’acqua ‘ rilassa ’ vicino ai 20 GHz e sia le cellule che i tessuti ne contengono molta.

Un più debole effetto di dispersione, chiamato dispersione δ , è causato dall’acqua delle proteine e dai contributi degli amminoacidi e dei gruppi polari delle proteine.

La dispersione α

Hodgkin-Huxley scoprirono gli effetti α causati principalmente dal reticolo sarcoplasmatico, dalle giunzioni e dal rilassamento dei controioni. La conoscenza di questa dispersione rimane tuttavia incompleta per diverse ragioni:

a. la dispersione si dovrebbe avere a frequenze più basse rispetto a quelle osservate per un sistema cellulare;

b. molti tessuti con un alto contenuto d’acqua mostrano simili dispersioni a basse frequenze, inclusi i tessuti senza sistema tubolare;

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c. gli effetti della conduttanza di canale si hanno a frequenze più basse rispetto agli effetti α ;

d. alcune cellule, come gli eritrociti, non mostrano effetti di questo tipo.

In tabella 1.1 sono riportati i vari meccanismi, che partecipano alla risposta dielettrica dei diversi sistemi biologici, dal semplice caso della sola acqua a quello più complesso di cellule con organuli, proteine e membrane caricate.

Tabella 1.2 Dispersioni elettriche dei bio-materiali

Nella trattazione delle sezioni precedenti non si è fatto alcun riferimento ai meccanismi specifici della polarizzazione dielettrica. In seguito verranno esaminati brevemente i processi di rilassamento responsabili delle proprietà dielettriche dei tessuti: la polarizzazione interfacciale, l’orientazione dipolare e la diffusione ionica.

Polarizzazione interfacciale (Effetto Maxwell-Wagner)

L’effetto Maxwell-Wagner è un processo di rilassamento interfacciale che si ha in tutti i sistemi in cui la corrente elettrica deve attraversare un’interfaccia tra due differenti dielettrici; è, quindi, una conseguenza delle condizioni al contorno del campo sull’interfaccia. Acqua ed elettrociti γ Macromolecole biologiche: Amminoacidi δ + γ Proteine β +δ +γ Acidi nucleici α +β+δ +γ

Cellule con membrana:

+ liquidi proteici β + γ + proteine β +δ +γ +superficie caricata α +β+γ + rilassamento della membrana α +β +γ +organuli β +δ +γ +sistema tubolare α+β +γ Vesciche:

senza membrana caricata β+ γ con membrana caricata

α +β +γ

Cellule con membrana, superficie caricata, organuli e proteine.

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Spesso questo processo è spiegato mediante un condensatore con due diversi materiali omogenei inseriti come lastre in serie tra le armature (figura 1.10).

Figura 1.10. Circuito equivalente.

Calcolando la capacità parallela C_P, si ha:

(

)

2 0 2 1 2 2 2 2 1 1 _→ + + = f R R R C R C C_P ;

(

+

)

→∞ = f C C C C C_P ₂ 2 1 2 1 _.

La capacità a bassa frequenza è più alta rispetto a quella alle alte frequenze. Con questo modello si ha la classica dispersione di Debye; anche senza alcun rilassamento dipolare nel dielettrico, infatti, la dispersione è dovuta alla conduttanza in parallelo alla capacità per ciascun dielettrico, così che l’interfaccia può essere caricata (dalla conducibilità).

Se la permittività e la conducibilità dei due materiali, ε₁,ε₂,σ₁,σ₂, sono indipendenti dalla frequenza, il dislocamento dielettrico D all’interfaccia è continuo in accordo con l’equazione di Poisson, D=ε E, se l’interfaccia è senza cariche libere. Le densità di corrente tra i due mezzi sono legate tra loro:

1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 ε σ ε σ σ σ = = E E J J .

Nel caso in cui σ₁ε₂ =σ₂ε₁ l’interfaccia ha una densità di cariche libere nulla. Invece, se σ₁ε₂ ≠σ₂ε₁, o se anche σ₁ =0 e σ₂ >0, l’interfaccia viene caricata.

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Maxwell [7] fu il primo a trovare una soluzione analitica per la conducibilità di una sospensione diluita di una particella sferica:

(

)

2 1 2 1 2 2 2 2 σ σ σ σ σ σ σ σ + − = + − p ,

dove p è la frazione di volume della sfera. L’indice 1 indica la particella e l’indice 2, il mezzo.

Wagner [8] estese quest’analisi al caso di correnti alternate (ac) e Fricke [9], [10] al caso di cellule sferoidali prolate ed oblate (equazione di Maxwell- Fricke):

(

)

2 1 2 1 2 2 σ γ σ σ σ σ γ σ σ σ + − = + − p

con γ fattore di forma, pari a 2 per le particelle sferiche e 1 per quelle cilindriche. I simboli contrassegnati con una linea indicano il caso ac.

In seguito Hanai [11] sviluppò una teoria per frazioni di volume più alte, dato che l’equazione di Maxwell era rigorosa solo per le concentrazioni diluite.

Fricke [12] migliorò ancora il modello del sistema biologico, adattando questa teoria alle sospensioni sferiche, con proprietà dielettriche ε_i e σ_i, ricoperte da una membrana con proprietà ε_Sh e σ_Sh. La conducibilità complessa, nel caso in cui lo spessore della membrana è molto più piccolo del raggio della sfera, è:

(

)

(

)

(

)

(

i Sh

)

Sh Sh i i a d a d σ σ σ σ σ σ σ − + − − = 1 2 1 .

Queste equazioni furono adattate, da Pauly e Schwan [3], [12], al caso di sospensioni di cellule con una membrana dominata da una capacità C_m.

Schwan insieme con altri, tra cui Morowitz [13] proseguì lo studio considerando particelle più piccole con un raggio dell’ordine dei 100 nm, come le vesciche.

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Effetti di rilassamento dipolare

Un secondo meccanismo di polarizzazione è il parziale orientamento dei dipoli permanenti. I dipoli permanenti sono orientati in maniera causale, fino a quando poi non si applica un campo elettrico esterno che li farà orientare staticamente. I dipoli indotti avranno la stessa direzione del campo applicato. La forza rotazionale impressa dal campo su un dipolo permanente è definita dalla torsione:

E L q

t = ×

proporzionale alla carica q, alla separazione di carica L ed all’intensità del campo elettrico applicato E .

La relazione che lega la polarizzazione alla struttura di un mezzo non polare è data dall’equazione di Clausius-Mosotti: 3 2 1 0 ε α ε ε N r r ₌ + − ,

con N densità di volume degli atomi o delle molecole e α la polarizzabilità. Debye [15] riuscì a trovare un’equazione simile per le molecole polari:

      + = + − kT p N_A r r 3 3 2 1 2 m α ν ε ε , m

ν è il volume polare, p è il momento di dipolo, N_A è la costante di Avogadro. Il fattore kT è dovuto alla distribuzione delle molecole polari. Questa equazione non tiene conto però delle interazioni intermolecolari.

La costante di tempo di questo processo è proporzionale al cubo del raggio delle molecole. In genere si ha una distribuzione delle costanti di tempo, a causa delle molecole non omogenee e con una forma non sempre sferica.

Effetto di rilassamento dei controioni

Una terza classe di fenomeni dielettrici è quella che comprende la diffusione ionica in un doppio strato elettrico adiacente alle superfici caricate. Schwartz [16] utilizzò le teorie del doppio strato elettrico per descrivere la dispersione α delle sospensioni di particelle. In pratica prese in considerazione il caso in cui i controioni erano liberi di

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muoversi solo lateralmente sulla superficie della particella. Applicando un campo esterno il sistema viene polarizzato e i controioni si ridispongono sulla particella. Il ristabilirsi dei controioni, quando non si ha campo elettrico, è una diffusione controllata, con costante di tempo, in accordo alle teorie di Schwartz, pari a:

kT e a 2 2 µ τ = ,

con a raggio della sfera, e carica elementare e µ mobilità dei controioni. Da quest’ultima relazione si può ricavare la dispersione della permittività

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