Metodi Matematici e Statistici Prova scritta – 24/6/2008

Metodi Matematici e Statistici Prova scritta – 24/6/2008

• Se X assume i valori -1,0,1 con ugual probabilit`a e Y `e una P (7), e sono indipendenti, allora E [X ⁴ ] vale

E £ X ⁴ ¤

= 1 · 1

3 + 0 · 1

3 + 1 · 1 3 = 2

3 mentre P (XY ≤ 2) vale

P (XY ≤ 2) = P (−Y ≤ 2) · 1

3 + P (0 ≤ 2) · 1

3 + P (Y ≤ 2) · 1 3

= 1 3 + 1

3 + Ã X 2

k=0

e ⁻⁷ 7 ^k k!

! 1

3 = 0.676.

• Sia X una v.a. discreta che assume solo i valori −5 e −4 ed ha varianza

3

16 . Quale dei seguenti valori pu`o essere la sua media? Soluzione: o impostando i calcoli con p = P (X = −4) incognita, che alla fine deve valere 1/4 o 3/4, oppure osservando che X + 5 ∼ B (1, p), quindi

3

16 = V ar (X) = V ar (X + 5) = p (1 − p)

da cui si trova che p deve valere 1/4 o 3/4. Alla fine, tra i valori assegnati, l’unico compatibile `e

−4.25

• Se X `e una B (400; 0.25), calcolare approssimativamente P (X > 110).

= P

µ X ₁ + ... + X ₄₀₀ − 400 · 0.25 20 √

0.25 · 0.75 > 110 − 400 · 0.25 20 √

0.25 · 0.75

¶

∼ 1 − Φ (1.15)

= 1 − 0.8749 = 0.125

• Un campione sperimentale gaussiano di numerosit`a 25 ha prodotto il valore x = 20.7. Sappiamo che la deviazione standard `e 5. L’affermazione

|µ − 20.7| ≤ 1.645 con che probabilit`a vale? Soluzione: 1 − α, dove 1.645 = ^σq

^√ _n . Sostituendo σ ed n, si trova 1.645 = q _1−α/2 , quindi 1 − α vale

0.9

1

• Un antibiotico promette la guarigione in 7 giorni in media. Un’associazione di consumatori ha rilevato su un campione di 10 persone un tempo medio di guarigione di 10 giorni. Al 95% pu`o contestare la validit`a del farmaco? Soluzione: si esegue un test bilaterale per la media e si trova che il test `e significativo, quindi la risposta `e

s`ı

• Vogliamo stimare la media µ di una v.a. gaussiana. Siamo interes- sati ad una precisione elevata, ma siamo disposti a correre un rischio del 10%. Prima di noi hanno gi`a fatto alcuni esperimenti che hanno dato i valori 7.5, 5.4, 6.8, 6.1, 5.3, 7.1. Eseguite le analisi che potete fare e progettate eventuali altre indagini. Soluzione sintetica: dai dati si pu`o calcolare una stima di µ (e di S) e dare un intervallo di con- fidenza al 10%, possibilmente usando la t di Student. La precisione per`o non `e elevata, essendo la numerosit`a molto bassa. Si pu`o allora sfruttare l’informazione pur sommaria su S per progettare il numero di esperimenti da svolgere per avere una precisione pi`u elevata.

• Supponiamo X, Y ∼ E§√ (0.5) indipendenti. Allora X ² + XY ² ha media

E £ X ² ¤

+ E [X] E £ Y ² ¤

= σ ² + µ ² + µ ¡

σ ² + µ ² ¢

= (1 + 2) (4 + 4) = 24 mentre E £

Xe ^0.2·Y ¤ vale E [X] E £

e ^Y ¤

= 2 0.5

0.5 − 0.2 = 3. 333

• Se X `e una v.a. N (26, 9), calcolare P (25 < X < 27)

= Φ µ 1

3

¶

− Φ µ

− 1 3

¶

= 2Φ µ 1

3

¶

− 1 = 2 · 0.6293 − 1 = 0.258

e trovare il numero λ tale che P (X > λ) = 0.95 26 − 3 · q _0.95 = 26 − 3 · 1.645 = 21.065

2

• In una certa nazione le persone di et`a inferiore ai 20 anni sono il 30%

dei cittadini. La probabilit`a che un giovane sotto i 20 anni usi un certo servizio di telefonia `e del 15%, mentre tra le persone sopra i 20 anni la percentuale cala al 5%. Da questi dati si pu`o calcolare ad esempio la percentuale di popolazione che usa quel servizio di telefonia. Se una persona di et`a sconosciuta chiede quel servizio di telefonia, che probabilit`a c’`e che sia sotto i 20 anni? Soluzione: la percentuale di popolazione che usa quel servizio di telefonia `e 0.15 · 0.3 + 0.05 · 0.7 = 0 .0 8, da cui (usando la formula di Bayes), la quantit`a richiesta `e:

0.15 · 0.3

0.0 8 = 0.5625.

• Trovare il valore pi`u piccolo possibile della significativit`a α di un test per la media, che produrrebbe il rifiuto dell’ipotesi nulla. L’ipotesi `e che la media sia 20, il valore medio sperimentale `e 25, la deviazione standard nota `e 7, la numerosit`a 10.

= 2 − 2Φ

µ 25 − 20 7

√ 10 = 2. 258 8

¶

= 2 − 2 · 0.9878 = 0.0244

• Una catena di negozi di abbigliamento decide di aprire un esercizio in una citt`a nuova. Deve decidere le dimensioni del negozio (numero di addetti ecc.), sulla base delle potenziali richieste. Ha a disposizione i dati delle vendite di numerosi sui negozi in citt`a simili. Che tipo di calcoli pu`o eseguire? Soluzione sommaria: Utilizza i dati dei negozi simili per stimare media e varianza delle grandezze che gli interessano (numero di richieste, numero di visitatori e quindi numero di addetti necessari, ecc.); trovate queste, pu`o calcolare le soglie necessarie per soddisfare le richieste con percentuale di successo stabilita. Si pu`o ad es. essere pi`u specifici immaginando di usare dati sulle richieste, da cui calcolare la quantit`a di prodotti da tenere a disposizione per soddisfare la clientela al 95%.

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