Esame di Geometria ed Algebra
Laurea Ing. — 13 Febbraio 2017 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di R4:
W = h(1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)i, Z = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1+ 2x4 = x2+ x3 = 0}, (a) trovare le dimensioni ed una base per W, Z, W + Z e W ∩ Z,
(b) stabilire se il sottospazio W + Z `e somma diretta di W e Z.
2 Si consideri la funzione:
f : (x, y, z) ∈ R3 7−→ (2x − y + z, y + z, z) ∈ R3, (a) verificare che f `e un’applicazione lineare,
(b) scrivere la matrice associata ad f rispetto alla base canonica di R3 e determinare una base per kerf ed Imf ,
(c) stabilire se f `e diagonalizzabile ed in caso affermativo determinare una base di R3 diagonalizzante per f .
3 Discutere, al variare di h ∈ R, il seguente sistema lineare:
hx + y = 1 x + hy = h (1 − h)x + y + hz = 0 2x + (2 + h)y + hz = 1 + h
4 Nello spazio euclideo reale, si considerino la retta ` :
x − y = 0
z − 2y = 0 ed il punto P = (1, 1, h) dove h ∈ R.
(a) Scrivere l’equazione del piano π passante per l’origine e perpendicolare ad `, (b) determinare i valori del parametro h per i quali P ∈ π,
(c) trovare i punti sulla retta ` distanti √
6 dal piano π.
5 Sia V un K–spazio vettoriale tale che dim(V ) = n. Dimostrare che se v1, . . . , vk ∈ V , k < n, sono linearmente indipendenti, allora esistono vk+1, . . . , vn ∈ V tali che {v1, . . . , vn} `e una base di V . 6 Dimostrare che un’applicazione lineare F `e iniettiva se e solo se Ker(F ) = {0}.
Traccia I — 1
