Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 2 Luglio 2018 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si consideri il seguente sottospazio di R4:
V = hv1, v2, v3, v4i,
dove v1 = (3, 7, k + 1, 2k + 1), v2 = (2, 2k + 2, 0, 0), v3 = (1, 1, 0, 0), v4 = (−3, −7, −1, 2k).
Determinare la dimensione ed una base di V al variare di k ∈ R.
2 Si consideri l’applicazione lineare F : a b
c d
∈ M2(R) 7−→
a b+c2
b+c
2 d
∈ M2(R)
(a) Determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di F e stabilire se l’applicazione F `e suriettiva e/o iniettiva.
(b) Denotata con M la matrice associata ad F rispetto alla base canonica di M2(R), si determini se M
`
e diagonalizzabile ed in caso affermativo si esibisca una matrice diagonalizzante per M . 3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
(2 + h)x + 6y = 1 x + (3 + h)y = 1
3x + 8z = 2 + h
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i piani π1 : 2x − y = 1, π2 : x + y + x + z = 0, π3 : x − 2z = 1.
(a) Determinare l’insieme intersezione dei tre piani π1, π2, π3.
(b) Determinare l’equazione cartesiana del piano π4 passante per l’origine e perpendicolare alla retta r = π1∩ π2.
5 Sia V un K–spazio vettoriale, sia F un endomorfismo su V tale che λ = 0 `e un autovalore di F . Mostrare che l’autospazio relativo all’autovalore λ, Vλ ∪ {0}, coincide con il nucleo di F .
6 Enunciare e dimostrare la formula dimensionale per le applicazioni lineari.
Traccia I — 1
