Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 14 Luglio 2017 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si cosideri l’insieme
W = {X ∈ M2(R) | AX = 0}, dove A `e la matrice
1 2
−2 −4
.
(a) Dimostrare che W `e sottospazio vettoriale di M2(R), calcolarne la dimensione e determinarne una base B.
(b) Completare la base B trovata fino ad ottenere una base di M2(R).
2 Si considerino le applicazioni lineari F : R3 −→ R4 e G : R4 −→ R3 definite come segue
F (x1, x2, x3) = (x1− 4x3, x2+ x3, 3x1− 5x2, x3), G(y1, y2, y3, y4) = (y2+ 3y4, 0, y1+ 2y2+ y3+ 4y4).
Sia H = G ◦ F : v ∈ R3 7−→ G(F (v)) ∈ R3.
(a) Determinare la dimensione ed una base per il nucleo e l’immagine di H.
(b) Stabilire se H `e iniettiva e/o suriettiva.
(c) Determinare se H `e diagonalizzabile ed in caso affermativo calcolare una base di R3 diagonalizzante per H.
3 Discutere, al variare del parametro h ∈ R, il seguente sistema lineare:
x1+ hx2+ x3+ (h2− 1)x4 = h + 1 x2+ x3+ x4 = 0
x1+ hx2+ x3 = 0
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il punto P = (1, 1, 1) e la retta
r :
x − y − z = 1 2x − y + z = 1
(a) Determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta ` passante per P , perpendicolare ed incidente alla retta r.
(b) Determinare la distanza del punto P dal piano π, dove π `e il piano contenente r e perpendicolare ad `.
5 Sia V un K–spazio vettoriale. Mostrare che i vettori v1, . . . , vn ∈ V , n ≥ 2, sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi si pu`o esprimere come combinazione lineare dei rimanenti.
6 Siano V e W due K–spazi vettoriali tali che dim(V ) = dim(W ) = n e sia F : V −→ W un’applicazione lineare. Dimostrare che F `e iniettiva se e solo se F `e suriettiva.
Traccia I — 1
