Xn) per n ∈ N e F0

II Appello di Processi Stocastici 2010/11 Cognome:

Laurea Magistrale in Matematica Nome:

2 settembre 2011 Email:

Quando non è espressamente indicato il contrario, per la soluzione degli esercizi è possibile usare tutti i risultati visti a lezione (compresi quelli di cui non è stata fornita la dimostrazione).

Esercizio 1. Su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) è definita una successione {X_n}_n∈Ndi variabili aleatorie i.i.d. in L², con media nulla E(X₁) = 0 e varianza Var(X1) = σ². Consideriamo la filtrazione {F_n}_n∈N0 definita da F_n:= σ(X₁, . . . , X_n) per n ∈ N e F0 := {∅, Ω}.

Introduciamo la passeggiata aleatoria

S0 := 0 , Sn:= X1+ . . . + Xn per n ∈ N , e poniamo

Z0:= 0 , Zn:= S_n²

√n per n ∈ N . Definiamo quindi η_k := Zk− Z_k−1, per ogni k ∈ N, così che Zn=Pn

k=1ηk. Si noti che η_k =







S₁² se k = 1

S²_k

√

k− S_k−1²

√k − 1 se k ≥ 2 . (a) Si mostri che E(η_n|F_n−1) ≤ ^√σ2_n, per ogni n ∈ N.

(b) Si mostri che il processo Y = {Y_n:= Z_n− g(n)}_n∈N0 è una supermartingala, dove abbiamo posto

g(0) := 0 , g(n) :=

n

X

k=1

σ²

√

k per n ∈ N . (c) Si deduca che E(Z_σ) ≤ E(g(σ)), per ogni tempo d’arresto σ limitato.

(d) Si mostri che vale la seguente relazione:

g(m) ≤ Z m

0

σ²

√xdx = 2 σ²√

m , ∀m ∈ N .

Sia ora τ un tempo d’arresto a valori in N (non necessariamente limitato) tale che E(√

τ ) < ∞.

(e) Si mostri che E(Z_{τ ∧n}) ≤ 2 σ² E(√

τ ∧ n), per ogni n ∈ N.

(f) Si concluda che E S_τ²

√τ



≤ 2σ²E(√

τ ) < ∞.

Soluzione 1. (a) Per n = 1 si ha E(η₁|F₀) = E(η₁) = E(S₁²) = σ². Per n ≥ 2 notiamo che S_n² = (Sn−1+Xn)² = S_n−1² +X_n²+2Sn−1Xn, da cui E(S_n²|F_n−1) = S_n−1² +E(X_n²) = S_n−1² +σ² e quindi

E(η_n|F_n−1) = E(S_n²|F_n−1)

√n − S_n−1²

√n − 1 = σ²

√n+ S_n−1²

 1

√n− 1

√n − 1



≤ σ²

√n.

(b) Chiaramente Y è un processo adattato e in L¹. Dato che Z_n− Z_n−1 = ηn, dal punto precedente segue che

E(Yn|F_n−1) = E(Zn|F_n−1) − g(n) = E(ηn|F_n−1) + Zn−1−

n

X

k=1

σ²

√

k ≤ Z_n−1−

n−1

X

k=1

σ²

√

k = Yn−1, cioè Y è una supermartingala.

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(c) Il teorema d’arresto per la supermartingala Y e per il tempo d’arresto limitato σ dà E(Y_σ) ≤ E(Y₀) = 0, da cui E(Z_σ) ≤ E(g(σ)).

(d) Basta notare che per ogni k ∈ N e per ogni x ∈ [k − 1, k] si ha ^√1_k ≤ ^√1_x, da cui segue che

√1 k ≤Rk

k−1

√1

xdx. Sommando per k = 1, . . . , m si ottiene la relazione cercata.

(e) È un’applicazione immediata dei punti precedenti, con il tempo d’arresto σ = τ ∧ n.

(f) Per ipotesi E(√

τ ) < ∞, da cui segue che q.c. τ < ∞. Di conseguenza τ ∧ n → τ q.c. e Z_{τ ∧n}→ Z_τ q.c. per n → ∞. Per convergenza monotona E(√

τ ∧ n) → E(√

τ ). Per il lemma di Fatou (si osservi che Z_{τ ∧n} ≥ 0) e i punti precedenti,

E(Zτ) ≤ lim inf

n→∞ E(Zτ ∧n) ≤ 2σ²lim inf

n→∞ E(√

τ ∧ n) = 2σ²E(√ τ ) . Dato che Z_τ = S_τ²/√

τ per definizione, la dimostrazione è conclusa.

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Esercizio 2. Su uno spazio di probabilità filtrato standard (Ω, F , {F_t}_t∈[0,∞), P) è definito un {F_t}_t∈[0,∞)-moto browniano reale B = {B_t}_t∈[0,∞). Fissiamo due numeri a, b > 0 e definiamo

τ := inf{t ∈ [0, ∞) : B_t6∈ (−a, b)} .

Ricordiamo che τ è un tempo d’arresto e che valgono le seguenti relazioni:

P(Bτ = −a) = b

a + b, P(Bτ = b) = a

a + b, E(τ ) = ab (< ∞) .

Per lo svolgimento dell’esercizio può essere utile la relazione (da giustificare) 1 = 1_{Bτ=−a}+1_{Bτ=b}. (a) Si mostri che E(B³_τ) = ab(b − a).

(b) Si mostri che E(τ B_τ1{B_τ=−a}) = a E(τ 1{B_τ=b}) − a²b.

Introduciamo ora il processo M = {M_t}_t∈[0,∞) definito da M_t:= B_t³− 3tB_t.

(c) Si spieghi perché il processo M è progressivamente misurabile.

(d) Applicando la formula di Ito, si mostri che M è un processo di Ito, se ne calcoli il differenziale stocastico e si deduca che M è una martingala (e non solo una martingala locale).

(e) Si deduca che E(B_{τ ∧n}³ ) = 3 E((τ ∧ n)B_{τ ∧n}), per ogni n ∈ N, quindi che E(Bτ³) = 3 E(τ B_τ).

(f) Si deduca infine che E(τ | B_τ = b) = ¹₃(2ab + b²).

Soluzione 2. (a) Sfruttando l’identità 1 = 1_{Bτ=−a}+ 1_{Bτ=b} si ottiene

E(B_τ³) = E(B_τ³1_{Bτ=−a}) + E(B³_τ1_{Bτ=b}) = (−a)³P(B_τ = −a) + b³P(B_τ = b)

= − a³b

a + b+ b³a

a + b = abb²− a²

b + a = ab(b − a)

(b) Sfruttando ancora l’identità 1 = 1_{Bτ=−a}+ 1_{Bτ=b} abbiamo che E(τ 1{B_τ=−a}) + E(τ 1{B_τ=b}) = E(τ ) = ab . Di conseguenza

E(τ Bτ1{Bτ=−a}) = −a E(τ 1{Bτ=−a}) = −a(ab − E(τ 1{Bτ=b})) = a E(τ 1{Bτ=b}) − a²b . (c) Il processo M è q.c. continuo e adattato, dunque progressivamente misurabile per un risultato

visto a lezione.

(d) Si ha M_t= Φ(t, B_t) con ϕ(t, x) = x³− 3tx di classe C^∞,∞. Il processo M è dunque di Ito e, per la formula di Ito generalizzata, il suo differenziale stocastico è dato da

dM_t= ˙Φ(t, Bt) dt + Φ⁰(t, Bt) dBt + 1

2Φ⁰⁰(t, Bt) dt

= −3Btdt + (3B_t²− 3t) dB_t + 1

26Btdt = 3 (B_t²− t) dB_t.

Da ciò segue che M è una martingala locale. Dato che l’integrando è in M² e non solo in M²_loc (infatti E(RT

0 (B_t²− t)²dt) = . . . < ∞ per ogni T > 0), segue che M è una vera martingala (continua e di quadrato integrabile).

(e) Applicando il teorema d’arresto al tempo d’arresto limitato τ ∧ n, otteniamo E(M_{τ ∧n}) = E(M0) = 0, ossia E((τ ∧ n)Bτ ∧n) = ¹₃E(B_{τ ∧n}³ ), per ogni n ∈ N. La successione Bτ ∧n³ è limitata, poiché |B_{τ ∧n}| ≤ max{a, b}, quindi per convergenza dominata E(B_{τ ∧n}³ ) → E(B_τ³) per n → ∞. Analogamente |(τ ∧ n)B_{τ ∧n}| ≤ τ · max{a, b}, e dato che E(τ ) = ab < ∞ segue che E((τ ∧ n)B_{τ ∧n}) → E(τ B_τ) per convergenza dominata. In definitiva, passando al limite si ottiene la relazione cercata E(τ B_τ) = ¹₃E(B_τ³).

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(f) Sfruttando l’identità 1 = 1_{Bτ=−a}+ 1_{Bτ=b}, possiamo scrivere, applicando i risultati dei punti precedenti,

E(τ B_τ) = E(τ B_τ1_{Bτ=−a}) + E(τ B_τ1_{Bτ=b}) = a E(τ 1_{Bτ=b}) − a²b + b E(τ 1_{Bτ=b})

= (a + b) E(τ 1{B_τ=b}) − a²b .

Da ciò segue, sfruttando i risultati già ottenuti, che E(τ 1_{Bτ=b}) = E(τ B_τ) + a²b

a + b =

1

3E(B_τ³) + a²b

a + b =

1

3ab(b − a) + a²b

a + b =

1

3ab²+²₃a²b a + b . Dato che P(B_τ = b) = a/(a + b), otteniamo infine

E(τ |Bτ = b) = E(τ 1_{Bτ=b}) P(B_τ = b) = 1

3b²+2 3ab .