8. Esercizi di Geometria 2 (Semestre Estivo 2019) Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego

8. Esercizi di Geometria 2

(Semestre Estivo 2019)

Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego

Esercizio 1. Sia S una superficie differenziabile regolare, p ∈ S e scegliamo un versore N (p) ∈ R³ ortogonale a T_pS. Dato v ∈ T_pS di lunghezza unitaria, sia H_v il piano passante per p e parallelo a v e N (p). Dimostrare che l’intersezione H_v∩ S `e, almeno nell’intorno di p, la traccia di una curva regolare.

Esercizio 2. Sia S ⊂ R³ la superficie di parametrizzazione globale ϕ : R⁺ × R⁺ −→ R³data da ϕ(u, v) = (u cos v, u sin v, u). Dimostra che le curve coordinate di ϕ sono tra loro ortogonali in ogni punto.

Esercizio 3. Sia S ⊂ R³ la catenoide, parametrizzata come nell’esercizio del foglio 7, e fissato r ∈ R, sia α : R −→ S la curva contenuta nella catenoide definita da α(t) = ϕ(t, rt). Calcola la lunghezza di α tra t = 0 e t = t₀, utilizzando la prima forma fondamentale di S.

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