4. Esercizi di Geometria 2 (Semestre Estivo 2017) Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego

4. Esercizi di Geometria 2

(Semestre Estivo 2017)

Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego

Esercizio 1. Con la topologia Euclidea indotta da R³, si consideri lo spazio X ottenuto per rotazione attorno all’asse z della figura seguente:

0

z

x

p

q

Sia inoltre Γ la circonferenza ottenuta per rotazione attorno all’asse z del punto p.

(1) Determinare π₀(X), π₀(X \ Γ) e π₀(X \ {q}).

(2) Determinare i generatori del gruppo fondamentale π₁(X).

Esercizio 2. Sia p : E → X un rivestimento. Provare che se E `e compatto e X

`

e T₁ allora il rivestimento ha grado finito.

Esercizio 3. Provare che la mappa

p : R × (0, +∞) → R²\ (0, 0), P (x, t) = t(cos(2πx), sin(2πx))

`

e un rivestimento.

Esercizio 4. Sia E → X un rivestimento. Provare che:^p (1) Se X `e di Hausdorff allora E `e di Hausdorff.

(2) Se X `e una variet`a di dimensione n allora E `e una variet`a di dimensione n.

(3) Se E `e una variet`a di dimensione n e X `e di Hausdorff allora X `e una variet`a di dimensione n.

1