7. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2019)
Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Sia V ⊂ R3 un aperto, e f : V −→ R di classe C∞. Diremo che a ∈ V `e un punto critico di f se dfp: R3 −→ R non `e surgettivo. Altrimenti diremo che p `e un valore regolare.
(1) Dimostrare che se a ∈ R `e un valore regolare di f , allora ogni compo- nente connessa dell’insieme di livello f−1(a) = {p ∈ V |f (p) = a} `e una superficie differenziale regolare.
(2) Determinare quali quadriche in R3 sono superfici differenziali regolari.
Esercizio 2. Sia H ⊂ R3 un piano, C ⊂ H il sostegno di una curva aperta semplice (iniettiva) o di una curva chiusa semplice di classe C∞, ed l ⊂ H una retta disgiunta da C.
(1) Dimostrare che l’insieme S ⊂ R3 ottenuto ruotando C attorno a l `e una superficie regolare, detta superficie di rotazione di generatrice C e asse di rotazione l.
(2) Dimostrare che il toro `e una superficie differenziabile regolare.
(3) Dare altri esempi di superfici di rotazione.
(4) Determinate le curve coordinate naturali di una superficie di rotazione.
Esercizio 3. [Abate-Tovena, Problema 3.1] Sia σ : R −→ R3 la parametrizzazio- ne σ(v) = (a cosh v, 0, av) della catenaria (a reale positivo), e sia S la catenoide ottenuta ruotando la catenaria attorno all’asse z.
(1) Determina una superficie immersa che abbia la catenoide S come sostegno.
(2) Determina per ogni punto p di S una base del piano tangente.
1
