1. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2019)
Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Dimostrare che:
(1) la relazione di equivalenza omotopica tra spazi topologici `e una relazione di equivalenza.
(2) il nastro di M¨obius `e omotopicamente equivalente alla sua circonferenza equatoriale.
Esercizio 2. Siano X e Y spazi topologici. Provare che se Y `e contraibile allora X × Y `e omotopicamente equivalente a X.
Esercizio 3. Dividere le lettere dell’alfabeto stampatello maiuscolo in classi di omotopia e omeomorfismo.
Esercizio 4. Siano dati i sottoinsiemi di R3
γ = {(x, y, z) ∈ R3|x2+ y2 = 4, z = 0}, r : x = y = 0.
Provare che il toro T determinato dalla rotazione della circonferenza β : {(x, y, z) ∈ R3|x = 0, (y − 2)2+ z2 = 1} intorno all’asse z `e un retratto per deformazione di R3\ {γ ∪ r}.
Esercizio 5. Siano X e Y spazi topologici e f, g : X −→ Y due mappe continue.
Provare che se X `e contraibile e Y `e connesso per archi allora f e g sono omotope.
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