5. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2017)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. In R2 si fissi un sistema di riferimento e sia Γh la circonferenza centrata in nell’origine e di raggio h ∈ R con h ≥ 0. Sia Xh l’unione di Γh con le quattro circonferenze di raggio 2 centrate nei punti di coordinate (0, h + 2), (0, −h − 2), (h + 2, 0), (−h − 2, 0).
(1) Al variate di h ∈ R con h ≥ 0, si determini il gruppo fondamentale dello spazio topologico connesso per archi Xh, dotato della topologia indotta da quella euclidea di R2.
(2) Esiste un intero k ≥ 2 tale che X0 sia omeomorfo all’unione ad un punto di k circonferenze?
(3) Si consideri X4 e si stabilisca se Γ4 ⊂ X4 ne `e un retratto o meno.
(4) Sia G il gruppo ciclico di ordine 4 costituito dalle rotzioni di R2 in senso antiorario intorno all’origine degli assi di angoli 0,π2, π,2π3 . Si considerino gli spazi topologici quoziente X0/G e X4/G e se ne determinino i gruppi fondamentali.
(5) Stabilire se le applicazioni canoniche
X0 −→ X0/G, X4 −→ X4/G sono rivestimenti.
Giustificare ogni risposta.
Esercizio 2. Le figure seguenti sono le usuali rappresentazioni piane di X :=
S2 \ {Q, R} una sfera meno due punti, Y un toro, e Z := P2R con alcuni cappi indicati.
P P
P Y
P
A
Z A A
B X
α b
a
b
a α
a
a
a a
Q R β
P
P P
α β
γ δ
(1) Si descrivano in termini di generatori del gruppo fondamentale π1(X, P ) le classi di omotopia dei cappi α, β, γ e δ.
(2) Si descriva in termini di generatori del gruppo fondamentale π1(Y, P ) la classe di omotopia del cappio α.
1
(3) Sia Z/β lo spazio quoziente di Z modulo la contrazione ad un punto del cappio β e sia f : Z → Z/β la proiezione naturale. Si descriva in termini di generatori del gruppo fondamentale π1(Z/β, f (P )) la classe di omotopia di f (α)
(4) Si considerino le somme connesse W1 := Y ]Z, W2 := Y ]Z/β. Si determini la caratteristica di Eulero di W1 e W2.
Giustificare ogni risposta.
Esercizio 3. Con la topologia Euclidea indotta da R3, si considerino la circon- ferenza C del piano x = 0 di equazione y2 + z2 = 1 e la retta r di equazione x = y = 0.
Si denoti con Γ la superficie di rotazione della retta r attorno alla retta di equa- zioni x = y − 2 = 0 e con T la superficie di rotazione della circonferenza C attorno alla retta di equazione x = y + 2.
(1) Si determini una presentazione per il gruppo fondamentale dello spazio Y = C ∪ Γ
(2) Nello spazio Y si indichino due circonferenze che rappresentino cappi con lo stesso punto base ma tra loro non omotopi.
(3) Si determini una presentazione per il gruppo fondamentale dello spazio Z = T ∪ Γ
Giustificare ogni risposta.
