7. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2018)
Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. [Abate–Tovena Problema 4.1] Sia S ⊂ R3 la superficie di equazione z = xy2.
(1) Determina la prima forma fondamentale di S e i coefficienti metrici.
(2) Determina la seconda forma fondamentale II di S.
(3) Dimostra che K ≤ 0 sempre, e che K = 0 soltanto per i punti di S con y = 0.
(4) Dimostra che (0, 0, 0) `e un punto piano di S.
(5) Determina le direzioni principali nei punti di S con curvatura Gaussiana nulla.
(6) Dimostra che le curve σ1, σ2: R −→ S date da σ1(t) = (x0 + t, y0, z0 + ty20) e σ2(t) = (etx0, e−2ty0, e−3tz0) sono linee asintotiche passanti per (x0, y0, z0) ∈ S per ogni x0, y0 ∈ R.
Esercizio 2. [Abate–Tovena Problema 4.2.] Sia S ⊂ R3 la superficie regolare con parametrizzazione globale
ϕ : R2 −→ R3 ϕ(u, v) = (u, v, u2− v2).
(1) Determina i coefficienti metrici E, F , G di ϕ.
(2) Determina una mappa di Gauss per S.
(3) Determina la seconda forma fondamentale e la curvatura di Gauss di S.
(4) Sia σ : I −→ S una curva con σ(0) = O ∈ S. Dimostra che la curvatura normale di σ nell’origine varia tra −2 e 2.
Esercizio 3. Sia S ⊂ R3 il paraboloide ellittico di rotazione di equazione z = x2+ y2, con parametrizzazione locale ϕ : R+× (0, 2π) −→ R3 data da ϕ(t, θ) = (t cos θ, t sin θ, t2).
(1) Determina la curvatura geodetica dei paralleli.
(2) Mostra che i meridiani sono geodetiche.
(3) Mostra che una geodetica σ : R −→ S di S, che non sia un meridiano e che venga percorsa nella direzione crescente dei raggi dei paralleli, interseca infinite tutti i meridiani.
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