4. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2019)
Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. In R2 si fissi un sistema di riferimento e sia Γh la circonferenza centrata in nell’origine e di raggio h ∈ R con h ≥ 0. Sia Xh l’unione di Γh con le quattro circonferenze di raggio 2 centrate nei punti di coordinate (0, h + 2), (0, −h − 2), (h + 2, 0), (−h − 2, 0).
(1) Al variate di h ∈ R con h ≥ 0, si determini il gruppo fondamentale dello spazio topologico connesso per archi Xh, dotato della topologia indotta da quella euclidea di R2.
(2) Esiste un intero k ≥ 2 tale che X0 sia omeomorfo all’unione ad un punto di k circonferenze?
(3) Si consideri X4 e si stabilisca se Γ4 ⊂ X4 ne `e un retratto o meno.
(4) Sia G il gruppo ciclico di ordine 4 costituito dalle rotzioni di R2 in senso antiorario intorno all’origine degli assi di angoli 0,π2, π,2π3 . Si considerino gli spazi topologici quoziente X0/G e X4/G e se ne determinino i gruppi fondamentali.
Giustificare ogni risposta.
Esercizio 2. Dimostrare la seguente affermazione (Teorema del punto fisso di Brouwer). Ogni applicazione continua f : D2 −→ D2 possiede almeno un punto fisso.
[Suggerimento: Per assurdo supponete che nessun punto resti fisso, costruite al- lora un retratto da D2 a S1.]
Esercizio 3. Le figure seguenti sono le usuali rappresentazioni piane di X :=
S2 \ {Q, R} una sfera meno due punti, Y un toro, e Z := P2R con alcuni cappi indicati.
P P
P Y
P
A
Z A A
B X
α b
a
b
a α
a
a
a a
Q R β
P
P P
α β
γ δ
(1) Si descrivano in termini di generatori del gruppo fondamentale π1(X, P ) le classi di omotopia dei cappi α, β, γ e δ.
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(2) Si descriva in termini di generatori del gruppo fondamentale π1(Y, P ) la classe di omotopia del cappio α.
(3) Sia Z/β lo spazio quoziente di Z modulo la contrazione ad un punto del cappio β e sia f : Z → Z/β la proiezione naturale. Si descriva in termini di generatori del gruppo fondamentale π1(Z/β, f (P )) la classe di omotopia di f (α)
(4) Si considerino le somme connesse W1 := Y ]Z, W2 := Y ]Z/β. Si determini la caratteristica di Eulero di W1 e W2.
Giustificare ogni risposta.
