7. 7 ottobre 2009

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7. 7 ottobre 2009

Forme indeterminate

Dall’applicazione delle regole sul limite di somma, prodotto, quoziente, estesi ammettendo anche calcoli che coinvolgono ∞ rimangono comunque alcuni casi incerti: quelli classici sono ∞ − ∞, 0 · ∞,

∞/∞ o ∞ − ∞.

Consideriamo alcuni esempi:

x→+∞lim x

x + 5 = lim

x→+∞

1 1 + 5/x = 1

x→+∞lim

x2− 3x + 7

2x2+ 5x + 5 = lim

x→+∞

1 − 3/x + 7/x2 2 + 5/x + 5/x2 =1

2

x→+∞lim x3− 3x2+ x + 4 = lim

x→+∞x3(1 − 3/x + 1/x2+ 4/x3) = +∞ · 1 = +∞

ci si rende conto che non tutti gli infiniti sono uguali. In particolare, quando abbiamo espressioni con varie potenze con esponente diverso, contano solo quelle con l’esponente pi`u alto.

Velocit` a di divergenza

Si arriva quindi ad una definizione sulla velocit`a di divergenza. Se lim

x→+∞f (x) = +∞ e lim

x→+∞g(x) = +∞, diremo che f diverge pi`u velocemente di g per x → +∞ se

x→+∞lim f (x)

g(x) = +∞ ovvero equivalentemente lim

x→+∞

g(x) f (x) = 0.

Diremo che f diverge con la stessa velocit`a di g per x → +∞ se

x→+∞lim f (x)

g(x) = L > 0.

In particolare, se L = 1, diremo che f `e asintoticamente equivalente a g, in simboli f (x) ∼ g(x) per x → +∞.

Valgono le seguenti affermazioni:

• xm diverge pi`u velocemente di xn per x → +∞ se m > n > 0.

• ekx diverge pi`u velocemente di xn per x → +∞ qualunque siano k > 0 e n > 0.

• xn diverge pi`u velocemente di loga(x) per x → +∞ qualunque sia n > 0 e a > 1.

Usando queste propriet`a, si possono calcolare la maggior parte dei limiti che coinvolgono queste funzioni.

Analogamente si pu`o parlare di velocit`a di convergenza.

Limiti al finito e funzioni continue

Finora abbiamo considerato solo i limiti di f quando x si avvicina a + o −∞; oppure quelli in cui f (x) va verso l’infinito quando x si avvicina a un valore finito. E’ ancora pi`u facile definire

x→alimf (x) = L.

Vuol dire che, quando x si avvicina ad a, f (x) si avvicina a L. Questi limiti sono in genere facili da calcolare. Diamo infatti la definizione:

Definizione 1 f si dice continua in x = a se vale

x→alimf (x) = f (a).

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Praticamente tutte le funzioni (polinomi, potenze, esponenziali, logaritmi, modulo) che si conside- rano nei corsi sono continue. Intuitivamente f `e continua se se ne pu`o tracciare il grafico senza staccare la penna dal foglio.

Per tali funzioni non c’`e nessun problema a calcolare limx→af (x), cos`ı come per limiti che coinvolgono somme, prodotti o quozienti di funzioni continue. L’unico problema pu`o sorgere se dobbiamo calcolare

x→alim f (x) g(x) e si ha

x→alimf (x) = lim

x→ag(x) = 0.

Funzioni non continue sono, per esempio, quelle che hanno un salto come H definita da

H(x) =

(1 se x > 0 0 se x ≤ 0.

Non esiste limx→0H(x) perch e il limite destro `e diverso da quello sinistro, e quindi la funzione non pu`o essere continua.

Derivata

Il rapporto incrementale

f (x2) − f (x1) x2− x1

compare in molti problemi scientifici: se x `e il tempo e f (x) la posizione, il rapporto incrementale rappresenta la velocit`a media nell’intervallo di tempo [x1, x2]. Interpretazione economica: se x `e la quantit`a prodotta di un certo bene e f (x) il costo di produrla, f(xx2)−f (x1)

2−x1 rappresenta il costo medio per unit`a di prodotto all’aumentare la produzione da x1 a x2.

Avvicinando x2 a x1, si passa da un concetto medio a uno istantaneo: la velocit`a di un oggetto in un istante, il costo per unit`a di prodotto di un aumento piccolissimo della produzione. Tale valore verr`a detto il limite. Pu`o essere pi`u semplice fare i conti ponendo x = a + h, ovvero x = a + ∆x, in modo che ∆x (o h) costituisca l’incremento sulle ascisse. La pendenza media si scriver`a allora come

f (a + ∆x) − f (a)

∆x

e studieremo il limite per ∆x che tende a 0. Diamo la seguente definizione:

Definizione 2 Si dice derivata di una funzionef : I → R in un punto a ∈ I, il numero f(a) = lim

x→a

f (x) − f (a) x − a = lim

h→0

f (a + h) − f (a)

h .

Per la derivata di f in a useremo anche la notazione d

dxf (x)|x=a.

Qualora abbiamo a disposizione soltanto i valori della funzione in alcuni punti (per esempio, se la funzione `e assegnata tramite una tabella), non potremo usare la definzione con il limite, ma potremo approssimare f(a) tramite il rapporto incrementale f (a + h) − f (a)

h , purch´e |h| sia sufficientemente piccolo.

Calcolo della derivata di f (x) = x2.

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figura

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Riferimenti

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