Compito di Fisica Matematica, 19/2/2007
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 CFU risolva almeno quattro dei seguenti quesiti. Quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Ottenere la funzione analitica di cui u(x, y) = a0x2+ 2a1xy + a2y2, ai∈ R per i = 0, 1, 2,
`e la parte reale.
(2) Calcolare la trasformata e l’antitrasformata di Fourier della funzione f (x) = (x2− x + 2)−1.
(3) Data la funzione
f (z) =
( z2
z se z 6= 0,
0 se z = 0,
verificare che essa soddisfa le CCR in z = 0 ma che non `e ivi derivabile.
(4) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
π, t ∈ [0, 1/2[;
−1, t ∈ [2, 3[;
0, altrove.
(5) Ottenere la serie di Fourier in L2(−π, π), e l’ugiaglianza di Parceval ad essa associata, della funzione f (x) =
( sinh(x), |x| ≤ 1
0, altrove.
(6) Calcolare la derivata debole della distribuzione ϕ(x) = |x| + 4x3.
(7) Verificare in che condizioni la funzione f (x) = 2+πxN 2 `e una densit`a di probabilit`a di una qualche variabile aleatoria. Trovare i momenti dei primi tre ordini ad essa associati.
(8) Facendo riferimento all’esercizio precedente, calcolare la funzione caratteristica e la funzione cumulativa. Ottenere, facendo uso della funzione caratteristica, i primi tre momenti della variabile aleatoria.
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