Compito di Fisica Matematica, 17/9/2007
Prof. F. Bagarello
Lo studente di 6 cfu risolva almeno quattro dei seguenti quesiti, quello di 9 cfu almeno 6:
(1) Ottenere le singolarit`a ed i residui della funzione f (z) = z sinh(z)ez−1 . Si calcoli poi la somma dei residui cos`ı ottenuti. Cosa si pu`o dire del residuo del punto all’infinito?
(2) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = sin(2x)¡
2 cos2(x) − 1¢
e si deduca l’uguaglianza di Parceval.
(3) Date f1(x), f2(x) ∈ L2(R) ed f3(x) ∈ L1(R), quest’ultima positiva quasi ovunque in R, verificare se F (x) := f1(x) + f2(x) +p
f3(x) appartiene ad L2(R).
(4) Risolvere l’equazione differenziale y00(t)+3y0(t)+2y(t) = 3, con le condizioni iniziali y(0) = 3 e y0(0) = 0 con la tecnica delle trasformate di Laplace.
(5) Calcolare la trasformata di Fourier ˆf (p) della funzione
f (x) = (
cosh(2x − 1), 0 ≤ x ≤ 1;
0, altrove
Calcolare inoltre kf k e stabilire, se possibile evitando di effettuare conti, se kf k = k ˆf k.
(6) Calcolare, se possibile, l’autoconvoluzione di f (x) = cos(x). Calcolare poi l’autoconvoluzione di g(x) = cos(x)rect(x).
(7) Verificare che la funzione
f (x) = ( x
2, 0 ≤ x ≤ 2;
0, altrove
`e una densit`a di probabilit`a, calcolarne la funzione cumulativa associata, e calcolare la probabilit`a che effettuando una misura si ottenga un risultato inferiore ad 1 o compreso tra 2 e 3.5.
(8) Considerare una moneta equa. Costruire la densit`a di probabilit`a associata al lancio della moneta per tre volte e se ne calcoli il valore medio.
Suggerimento: si introducano gli eventi elementari E0: nei tre lanci non esce mai testa; E1: nei tre lanci esce testa 1 volta e cos`ı via. A ciascuno di questi eventi si associ la relativa probabilit`a e, per finire, si calcoli il valore medio della variabile aleatoria cos`ı costruita
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