ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA

a.a. 2009-2010 28.6.2010

ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA

Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni.

(1) Siano rispettivamente V λ , W λ , λ ∈ R gli spazi delle soluzioni dei sistemi

 



 

x + 2λy − 2z + λt = 0 λx − y + λz − t = 0 3x − ³ ₂ λy + t = 0

,

 



 

λx + λy + t = 0 λx + 2y + λz − λt = 0 3x + 2λy + z − t = 0

dire se esistono λ ∈

R tali che V _λ ∩ W _λ = (0 ⁴ _R ).

(2) Provare che le rette s :

 



  x = 0 y = t z = −t

, ed r :

( x + y + 2z = 0

y + z − 1 = 0 sono sghembe.

-Determinare i punti di intersezione con la comune perpendicolare.

-Dire se esistono (ed eventualmente determinarli) tre punti A, B, C ∈ r∪s che formano un triangolo rettangolo isoscele.

-Dire se esistono (ed eventualmente determinarli) quattro punti D, E, F, G ∈ r ∪ s che formano un quadrato.

(3) Trovare le equazioni cartesiane del cilindro S che proietta la curva γ : ( x = y ²

z = 0 sul piano x + y + z − 1 = 0 e della curva proiezione.

(4) Siano ϕ : R ² −→ R ³ definita da ϕ(x, y) = (x, x + y, x − y) e ψ : R ³ −→ R ² definita da ψ(x, y, z) = (−x + y + z, −3x + 2y + z) :

-provare che ψ ◦ ϕ = id R

, -calcolare ker ϕ ◦ ψ,

-costruire χ : R ³ −→ R ² tale che χ 6= ψ e χ ◦ ϕ = id _R

, dire se vale ker ϕ ◦ ψ = ker ϕ ◦ χ.

(5) Scrivere quattro rette r, s, t, u ⊂ P ² tali che r ∩ s, s ∩ t, t ∩ u, u ∩ r formino un sistema di riferimento di P ² .

1