Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 12 Febbraio 2020 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Determinare la dimensione ed una base del sottospazio vettoriale W di R3[X] generato da
u = X3+ 2X2− 3X + 4, v = 2X3+ 5X2− 4X + 7, w = X3+ 4X2+ X + 2.
(a) Esibire un sottospazio U tale che R3[X] = W ⊕ U .
(b) Si esprima X3 ∈ R3[X] come somma di un vettore di W e di un vettore di U . 2 Si consideri l’applicazione lineare F : R3 −→ R4 tale che
F (x, y, z) = (x + y + 2z, x + z, y + z, x + y + 2z).
(a) Determinare la matrice A associata ad F rispetto alle basi canoniche.
(b) Determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di F .
(c) Esibire una matrice B ∈ M3(R), tale che nessuna sua colonna `e nulla e AB = 0.
(d) Stabilire se la matrice B `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una matrice diago- nalizzante per B.
3 Discutere, al variare dei parametri a, b ∈ R, il seguente sistema lineare a coefficienti reali:
x + 2y + z = 3 ay + 5z = 10 2x + 7y + az = b.
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A = 12, −1, −2, B = (0, 1, 1) e C = (1, 2, 0).
(a) Determinare le equazioni parametriche e cartesiane del piano π passante per i punti A, B, C.
(b) Determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta ` passante per (1, 0, 1) ed avente giacitura h(0, 1, 3)i.
(c) Determinare le rette di π passanti per A e che formano con ` un angolo θ tale che cos θ = 3
√ 2 5 . 5 Sia K un campo. Si dimostri che l’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo di m equazioni in n
incognite a coefficienti in K d`a luogo ad un sottospazio vettoriale di Kn e si discuta la sua dimensione.
6 Sia K un campo e sia A ∈ Mn(K). Quando A si definisce invertibile? Dimostrare che A `e invertibile se e solo se det(A) 6= 0.
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 12 Febbraio 2020 — Traccia II
COGNOME NOME
1 In R4 si considerino i seguenti sottospazi vettoriali
U = hv − ui, W = hu, vi, V = {(x, y, z, t) ∈ R4 | t = 0}, dove u = (0, 0, 1, 1) e v = (1, 1, 0, 1).
(a) Determinare la dimensione ed una base di U , V , W . (b) Stabilire se U = W ∩ V .
2 Si consideri l’endomorfismo F : Sym2(R) −→ Sym2(R) tale che F 1 0
0 1
= 1 −2
−2 3
, F 0 1 1 1
=h 0
0 2 − h
, F 2 0 0 −1
= 2 −1
−1 0
,
dove h ∈ R.
(a) Determinare la matrice A che rappresenta F rispetto alla base 1 0 0 0
,0 1 1 0
,0 0 0 1
di Sym2(R).
(b) Stabilire per quali valori di h l’endomorfismo F risulta diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una base di Sym2(R) che diagonalizza F .
3 Discutere, al variare dei parametri a, b ∈ R, il seguente sistema lineare a coefficienti reali:
x + y + az = 1 x + ay + z = 4 ax + y + z = b
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino il piano π : 2x−3y+hz+1 = 0 e le rette
` : x − y − z + k = 0
x + z − 1 = 0 , r :
x = −1 + λ y = 4 − λ z = λ
, λ ∈ R.
(a) Studiare al variare dei parametri h, k ∈ R la posizione reciproca di π ed `.
(b) Posto h = −2, k = −3, determinare le equazioni parametriche e cartesiane della retta perpendicolare a π ed incidente le rette ` ed r.
5 Sia K un campo. Si descrivano le operazioni elementari di riga a cui pu`o essere sottoposta una matrice A ∈ Mm,n(K) e si discuta come varia il suo rango ed il suo determinante.
6 Sia K un campo e sia A ∈ Mn(K) tale che λ = 0 `e un autovalore di A con molteplicit`a algebrica k.
Dimostrare che rg(A) ≥ n − k.
Traccia II — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 12 Febbraio 2020 — Traccia III
COGNOME NOME
1 Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di M2(R):
U = 2 −1
0 1
,1 3 1 −1
, 0 1
−1 −1
, W = 2 0
−1 0
,1 2 2 0
.
(a) Si determini la dimensione ed una base di U, W e U ∩ W .
(b) Si determini il sottospazio W⊥, dove M2(R) `e dotato del prodotto scalare · : (A, B) ∈ M2(R) 7→
T r(ABt) ∈ R.
2 Si consideri l’endomorfismo
F : (x, y, z) ∈ R3 7−→ x
2 + ay,hx a − y
2, z
∈ R3,
dove a, h ∈ R, a 6= 0.
(a) Determinare la dimensione ed una base del nucleo e dell’immagine di F al variare dei parametri a, h.
(b) Posto h = 34, determinare per quali valori di a l’endomorfismo F `e diagonalizzabile ed in caso affermativo si determini una base di R3 che diagonalizza F .
3 Discutere, al variare dei parametri a, b ∈ R, il seguente sistema lineare a coefficienti reali:
x + 2y + 2z = 1 x + ay + 3z = 3 x + 11y + az = b.
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, si considerino le rette
` : x + az + 1 = 0
ax + y − 7 = 0 , r : x + y − a = 0 y − 1 = 0 . (a) Studiare la posizione reciproca di ` ed r al variare di a ∈ R.
(b) Posto a = −2, determinare il piano che contiene le due rette.
5 Sia K un campo e sia A ∈ Mn(K). Si enunci la definizione di autovalore di A e si dimostri che A possiede al pi`u n autovalori.
6 Sia K un campo. Dimostrare che l’insieme delle matrici triangolari inferiori di ordine tre ad elementi in K `e un sottospazio vettoriale di M3(K) e se ne determini la dimensione.
Traccia III — 1
