Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 10 Aprile 2019 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si consideri la seguente matrice di M3(R):
M =
8 −18 0
3 −7 0
0 0 −2
.
(a) Determinare se M `e invertibile ed in caso affermativo calcolare la sua inversa.
(b) Determinare se M `e diagonalizzabile ed in caso affermativo calcolare una matrice diagonalizzante per M .
2 Al variare del parametro k ∈ R, si considerino le applicazioni lineari Fk : R3 −→ R3 e Gk : R3 −→ R3, dove
Fk(1, 1, 0) = (2, k, −2), Fk(1, −1, 0) = (0, −k, 0), Fk(0, 1, 1) = (0, 2k, k2 − 3k), e
Gk(x, y, z) = (3x + 2y + 3z, −2x − y − 2z, x + y + (1 + k)z).
(a) Determinare il valore del parametro reale k tale che Im(Fk) = Ker(Gk).
(b) Per il valore di k trovato al punto precedente, si determini la dimensione ed una base di Im(Fk) = Ker(Gk). Si estenda la base trovata ad una base di R3.
3 Discutere, al variare del parametro k ∈ R, il seguente sistema lineare:
2x + y + (9 − 5k)z = 0 2x + 2y + (3 − 5k)z = k + 2 2x + y + (k2 − 6k + 3)z = k + 2 6x + 4y + (k2− 16k + 15)z = 2k + 4
4 Nello spazio euclideo reale, fissato un riferimento cartesiano, sia `1 la retta x − 2 = y − 5 = 0 e sia `2 la retta passante per l’origine, parallela al piano 3x + 2y + z + 5 = 0 e complanare la retta di equazioni x − y + z = y − 3 = 0.
(a) Verificare che `1 ed `2 sono sghembe.
(b) Determinare la retta incidente e perpendicolare ad entrambe.
(c) Trovare la loro minima distanza.
5 Enunciare la definizione di spazio vettoriale euclideo reale. Dimostrare che l’applicazione (A, B) ∈ M2(R) × M2(R) 7−→ T r(ABt) ∈ R definisce un prodotto scalare.
6 Sia V un K–spazio vettoriale. Enunciare le definizioni di base e dimensione di V . Dimostrare che se v1, . . . , vk ∈ V , k < n, sono linearmente indipendenti e dim(V ) = n, allora esistono vk+1, . . . , vn ∈ V tali che {v1, . . . , vn} `e una base di V .
Traccia I — 1
