Seconda prova intermedia di Analisi Matematica 1 14 Gennaio 2016 COMPITO 1 1. Il limite lim

Seconda prova intermedia di Analisi Matematica 1 14 Gennaio 2016 COMPITO 1

1. Il limite

x!0lim⁺

1 + x² e^{x sin x}+ ln 1 +⁴₃x⁴

⇥e^{x 1}₂(1 + e^2x)⇤

tan(4x²) vale

Risp.: A : ³₄ B : 1 C : ¹₂ D : ¹₆

2. Sia ↵2 R. La serie ₁

X

n=7

n²+ n! + cos(nⁿ) (n + 1)ⁿ+ sin_n+1^↵ + e²ⁿ

Risp.: A : converge se ↵ > 1 B : converge se ↵ < 1 C : converge per ogni ↵ D : diverge positivamente per ogni ↵

3. Sia F :R ! R la primitiva di

f (x) = e^x

(2 + e^x)(1 + 2e ^x) tale che lim_{x! 1}F (x) = ln 2. Allora F (0) vale

Risp.: A : ¹₉ B : ln 3 C : ^{ln 3}₃ D : ln 3 ¹₃

4. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy

(xy⁰+ 3y = _x²2

y(1) = 3 Allora limx!+1x²y(x) vale˜

Risp.: A : 1 B : 3 C : 2 D : 0

5. Sia data la funzione

f (x) =p

|x|e^{2 x2} Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) x = 0 `e punto di cuspide. V F

(b) x = 1 `e punto di massimo relativo. V F (c) f ([0, +1[) =h

0, e¹²i

. V F

6. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 5 nell’apposito spazio sul foglio precedente.