Seconda prova intermedia di Analisi Matematica 1 16 Gennaio 2018 COMPITO 1 1. Il limite lim

Seconda prova intermedia di Analisi Matematica 1 16 Gennaio 2018 COMPITO 1

1. Il limite

x!+1lim

sin1

x arctan1

 x

e^4x1 1 + sinh⁷1 x

 x ln

✓ 1 + 1

x³

◆

+ cos1

x 1

vale

Risp.: A : ⁴₃ B : 4 C : ²₃ D : 1

2. Sia ↵2 R. La serie

+1

X

n=2

7↵ cos¹_n

⇣eⁿ²¹ 1⌘

(n + 1)³

Risp.: A : converge per ↵ 6= ¹7 e diverge per ↵ = ¹₇ B : converge per ↵ ¹₇ e diverge per

↵ < ¹₇ C : converge per ↵ = ¹₇ e diverge per ↵6= ¹7 D : converge per ↵ < ¹₇ e diverge per

↵ ¹₇

3. L’integrale Z ^p32

0

px arctan x^3/2dx vale

Risp.: A : arctanp

2 B : arctanp

2 + ln 3 C : ²₃p

2 arctanp

2 ¹₃ln 3 D : ln 2

4. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8>

<

>:

y⁰⁰ y⁰ 2y = xe^x y(0) = ¹₄

y⁰(0) = ³₄+ 4e Allora ˜y( ¹₂) vale

Risp.: A : ⁴₃(1 e^3/2) B : ⁴₃ C : ^4e₃ D : 4(e + e^3/2)

5. Sia data la funzione

f (x) =

(arctan (ln|x| 2x) se x6= 0

⇡

2 se x = 0.

Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) x = 0 `e un punto angoloso V F (b) f `e decrescente su [0,¹₂] V F

(c) f ([0, +1[) = [ ^⇡₂, arctan(1 + ln 2)] V F

6. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 5 nell’apposito spazio sul foglio precedente.