Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 6 Febbraio 2017 COMPITO 1

1. Sia dato il numero complesso

(1 + i)⁶e^3⇡i|7 + i|

i(1 i)⁸ . L’insieme delle sue radici cubiche `e dato da

Risp.: A :{ q⁶

25 2,q⁶

25 2e^i⇡3,q⁶

25

2e^i53⇡} B : {p⁶ 50,p⁶

50e^i23⇡,p⁶

50e^i43⇡} C : { p⁶ 50,p⁶

50e^i⇡3,p⁶

50e^i53⇡} D : {q⁶

25 2, ⁶

q25 2e^i23⇡, ⁶

q25 2e^i43⇡}

2. Il limite

n!+1lim 16 arctan e ⁷ⁿ 1 cosh r3

n 1

!2

n! 7 log(nⁿ+ 1) n⁴ (n 2)!

vale

Risp.: A : +1 B : 9⇡ C : 9 D : 9⇡

3. Il limite

xlim!0⁺

sinh e^{x log(2x)} 1 7x log(2x) e^2x+ cos x vale

Risp.: A : 1/7 B : 0 C : 1 D : 7

4. Sia f :R ! R data da

f (x) = 8<

:

x cos2⇡²

x + (x 2⇡) cos 2⇡²

x 2⇡ se x6= 0, 2⇡

2⇡ se x = 0 o x = 2⇡ .

Allora

Risp.: A : f `e continua suR \ {0} ed ammette in x = 0 una discontinuit`a eliminabile B : f

`e continua in R C : f `e continua su R \ {2⇡} ed ammette in x = 2⇡ una discontinuit`a eliminabile D : f ammette discontinuit`a eliminabili in x = 0 e x = 2⇡

5. Sia 2 R. Allora l’integrale improprio Z ₊₁

0

(e^x 1)⁷

(6 + x) log^3/2(1 + x) cosh xdx converge se e solo se

Risp.: A : > 1/14 B : per ogni C : < 1/7 D : 1/14 <  1/7

6. Sia F :] 1, +1[! R la primitiva di

f (x) = x log(x + 1) che vale ¹₄ per x = 0. Allora F (1) vale

Risp.: A : 3 log 2 B : 3 C : 0 D : log 2

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8<

:

y⁰+ y

x²+ 1 = e3x arctan x

y(0) = 0 Allora ˜y(1) vale

Risp.: A : ^e3₃¹e ^⇡/4 B : ^e3₃¹ C : ^e3₃¹e^⇡/4 D : e^⇡/4

8. Sia data la funzione

f (x) = 2 log|e^x 1| + 1

(e^x 1)² + 1 Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =R \ {0} V F (b) lim_x!0+f (x) = 1 V F

(c) y = 2x `e asintoto obliquo per x! +1 V F (d) f `e decrescente su ]0, log 2[ V F

(e) x = log 2 `e punto di massimo locale V F (f) f <sup>1</sup>(] 1, 3]) `e unione di due intervalli V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.