Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 16 Gennaio 2017 COMPITO 1

1. Il luogo degli z2 C tali che

2(z + ¯z)(Re(z) + 3) 4|z|² e^i⇡2(z + ¯z) 2i = 0

`e dato da

Risp.: A : una circonferenza B : una parabola C : una circonferenza privata di un punto D : una parabola privata di due punti

2. Sia ↵2 R. Il limite

n!+1lim

n!(eⁿ² 1) sin(↵⁷ⁿ) (n 1)! + 2 ln n vale

Risp.: A : +1 se |↵| < 1, 0 se ↵ = 1, non esiste altrimenti B : 0 se |↵| < 1, 2 sin 1 se ↵ = 1, non esiste altrimenti C : 0 se |↵|  1, non esiste altrimenti D : 0 se |↵| > 1, 2 sin 1 se

|↵| = 1, non esiste altrimenti

3. Il limite

xlim!0⁺

[cos(sin x) 1 +^x₂²] ln⇣ 1 + ²⁴

1+p 2x⌘ 5x[arctan(e^x 1)]⁴

vale

Risp.: A : ₁₊¹p

2 B : 0 C : +1 D : ₅₍₁₊⁴p 2)

4. Sia ↵2 R. La serie ₊

X1 n=2

1 cos_n^{1 ↵} pn⁶+ n p

n⁶+ 1 converge se e solo se

Risp.: A : ↵ > 1 B : ↵ ³₂ C : ↵ > ³₂ D : ↵ > 2

5. Sia f :R ! R data da

f (x) =

((x 2)| ln(x 2)| se x > 2

0 se x 2

Allora

Risp.: A : x = 2 `e punto di cuspide e x = 3 `e punto angoloso B : x = 2 `e punto angoloso e x = 3 `e punto di cuspide C : f `e derivabile sul suo dominio D : x = 2 e x = 3 sono punti angolosi

6. L’integrale

Z 2 1

ln²x + x²+ 7

x dx

vale

Risp.: A : ₂³+ 7 ln 2 B : ³₂ln³2 C : ^ln₃³²+³₂+ 7 ln 2 D : ^ln₃³²+ 7 ln 2

7. Sia ˜y la soluzione del problema di Cauchy 8<

:

y⁰ = e^{tan x} y cos²x y(0) = 2p

2 Allora ˜y(⇡/4) vale

Risp.: A : p

2(e + 3) B : p

2(e + 3) C : 2e D : ^p₄^2⇡

8. Sia data la funzione

f (x) = 2 p

2 arctan1 x

p1 + x²

Dire se le seguenti a↵ermazioni sono vere o false:

(a) dom(f ) =] 1, 1] [ [1, +1[ V F (b) lim_x!0⁺f (x) = ^p₂²⇡ + 1 V F

(c) y = x + 2 `e asintoto obliquo per x! 1 V F (d) f `e crescente su ] 1, 0[ V F

(e) x = 1 `e punto di minimo relativo V F (f) f non ammette punti di flesso V F

9. Disegnare il grafico approssimativo della funzione dell’esercizio 8 nell’apposito spazio sul foglio precedente.