Compito di Meccanica Razionale, 16/11/2011
Prof. F. Bagarello
Considerare il sistema in figura, formato da un’asta omogenea e liscia AB, di massa m e lunghezza l, vincolata a muoversi attorno al punto Q ≡ O, k ~QAk = 4l, sul piano verticale (O; x, y).
Supporre che in Q sia posta una cerniera cilindrica. Sull’asta `e poi vincolato a muoversi un punto materiale P , anch’esso di massa m, collegato all’origine O da una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k1 ed all’estremit`a B dell’asta da una seconda molla, anch’essa di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k2. Le molle non sono mostrate in figura. Lo studente:
1) deduca la lagrangiana del sistema;
2) ottenga le equazioni di Eulero-Lagrange;
3) ottenga le posizioni di equilibrio per il sistema analizzandone la natura della stabilit`a quali- tativamente.
4) Completi l’analisi delle posizioni di equilibrio analiticamente nelle due seguenti ipotesi: [a] il punto P venga saldato all’asta in B; [b] la cerniera sferica in Q venga sostituita da un vincolo che costringe l’asta AB ad avere come retta sostegno la prima bisettrice del piano. Supporre inoltre che, in questa situazione, B appartenga al terzo quadrante.
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©©©©©©©©
©©
© x
y
O = Q A
B
θ Pr
Il compito `e da considerarsi superato se almeno i primi tre quesiti sono svolti correttamente.
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