Compito di Meccanica Razionale, 6/4/2001
Prof. F. Bagarello
Si consideri il sistema il cui moto ´e individuato dalla lagrangiana L = k( ˙y2+ ˙z2) + h ˙x2+ d
dtΦ(r),
in cui r ´e il vettore posizione di coordinate cartesiane (x, y, z), k e h sono due costanti positive, k 6= h, e Φ ´e una certa funzione regolare (dotata di derivate di ogni ordine) di x, y, z.
1) Ricavare le equazioni del moto per tale sistema e verificare che esse coincidono con quelle ottenute dalla lagrangiana
L0= k( ˙y2+ ˙z2) + h ˙x2, indipendentemente dalla forma originaria della Φ.
2) Detto p = (px, py, pz) il momento coniugato, ricavare l’hamiltoniana del sistema.
3) Analizzando la lagrangiana L, o a scelta la sua espressione equivalente L0, discutere eventuali simmetrie del sistema e l’esistenza di eventuali quantit`a conservate. Verificare, in particolare, se qualche componente del vettore l = r ∧ p, risulta essere costante nel tempo. Commentare.
4) Detta F una funzione con la stessa regolarit`a di Φ, in cosa cambiano le equazioni del moto se sostituisco ad L la lagrangiana
L00= k( ˙y2+ ˙z2) + h ˙x2+ d
dtΦ(r) + d dt
Z
F (r) dr?
Commentare.
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