Meccanica Razionale Domande a risposta chiusa Versione con risoluzioni

(1)

Meccanica Razionale Domande a risposta chiusa

Versione con risoluzioni Daniele Andreucci

Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l’Ingegneria Università di Roma La Sapienza

via A.Scarpa 16, 00161 Roma

[email protected]

launch_daexam 20201228 12.23

Note:

• (ex): esercizi d’esame; (hw): esercizi di controllo.

• Salvo diverso avviso:

– coni e cilindri sono circolari retti;

– i corpi rigidi sono omogenei;

– si assume l’ipotesi dei lavori virtuali.

(2)

.1 Sia X ∈ C²(R) un moto, con

X(t) =

3

X

h=1

Xh(t)eh = X₁(t)e₁+ X₂(t)e₂+ X₃(t)e₃. Nel seguito α > 0 è una costante.

Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

1) Se ˙X₁(t)≥ α > 0 per ogni t > 0, allora

t→+∞lim |X(t)| = +∞ . 2) Se ˙X1(t)≥ α > 0 per ogni t < 0, allora

t→−∞lim |X(t)| = +∞ . 3) Se | ˙X(t)| ≥ α > 0 per ogni t ∈ R, allora

t→+∞lim |X(t)| = +∞ . Soluzione

1. S

Infatti in questo caso per t > 0

X¹(t)− X¹(0) = Z t

0

X˙¹(τ ) dτ ≥ Z t

0

α dτ = αt→ +∞ , t → +∞ , ma sappiamo che |X(t)| ≥ X¹(t).

2. S

Infatti in questo caso per t < 0

X¹(0)− X¹(t) = Z ⁰

t

X˙¹(τ ) dτ ≥ Z ⁰

t

α dτ = α(−t) → +∞ , t → −∞ , quindi X¹(t)→ −∞ per t → −∞; ma sappiamo che |X(t)| ≥ |X¹(t)|.

3. N

La derivata di un vettore può avere modulo grande anche perché il vettore cambia molto in direzione, ma non in modulo. Controesempio all’affermazione proposta:

X(t) = cos(αt)e1+ sin(αt)e2, t∈ R . Si ha

X˙ (t) =−α sin(αt)e¹+ α cos(αt)e², per cui | ˙X(t)| = α per ogni t, ma |X(t)| = 1 per ogni t.

.2 Si consideri il sistema differenziale

˙x₁ = x₂,

˙x₂ = x₁+|sin x2| .

(3)

4) Se (x1, x₂) ∈ C¹(R) è una soluzione con x₁(0) > 0, x₂(0) > 0, allora x₁(t) > 0, x₂(t) > 0 per ogni t > 0.

5) L’unica soluzione costante (x1(t), x2(t)) = (x01, x02) è (0,0).

6) Si può applicare il teorema di esistenza e unicità.

Soluzione 1. S

Se per assurdo questo non fosse vero, esisterebbe comunque per continuità un ¯t > 0 tale che x¹(t) > 0, x²(t) > 0 per ogni t∈ (0, ¯t) con x¹(¯t) = 0 o x²(¯t) = 0. Ma per t∈ (0, ¯t) si ha

˙x1= x2> 0 ,

˙x²= x¹+|sin x²| > 0 .

Quindi x¹(t) > x¹(0) > 0 e x²(t) > x²(0) > 0, assurdo per definizione di ¯t.

2. S

Una soluzione costante deve avere

˙x1= x2= 0 , e quindi

˙x2= x1+|sin x²| = x¹= 0 . 3. S

Infatti la funzione

x²

x¹+|sin x²|

è continua in (t, x¹, x²) e lipschitziana in (x¹, x²).

.3 Si consideri l’equazione di moto

m ¨X =−α|X| ˙X, con α > 0 costante.

7) L’energia cinetica è non crescente in t.

8) Se un moto soddisfa X(0) = 0, allora X(t) = 0 per ogni t.

9) L’unica soluzione costante è X(t) = 0 per ogni t.

Soluzione 1. S Infatti

dT dt = d

dt

m 2| ˙X|²

= m ¨X(t)· ˙X(t) =−α|X(t)|| ˙X(t)|²≤ 0 . 2. N

No, a meno che ˙X(0) = 0; se invece ˙X(0)6= 0 ovviamente non si può avere X(t) = 0 per ogni t.

3. N

Tutte le costanti X(t) = x⁰∈ R³ sono soluzioni.

(4)

.4 Un punto materiale è soggetto alla legge di moto m ¨X =−kX − α|X| ˙X, con k, α > 0 costanti.

10) Se X(0) = 0, ˙X(0) = p₀, il moto avviene all’interno della sfera

|X| ≤ |p0|r m k . 11) È impossibile che

|X(t)| ≥ λ > 0 , | ˙X(t)| ≥ µ > 0 , t≥ 0 . 12) Il punto d’equilibrio xeq = 0 è stabile.

Soluzione 1. S Si ha

d dt

m

2| ˙X|²+k 2|X|²

= m ¨X· ˙X+ kX· ˙X=−α|X|| ˙X|²≤ 0 , cosicché

|X|²≤ 2 k

m

2| ˙X|²+k 2|X|²

≤ 2 k

m 2|p⁰|². 2. S

Se questo fosse vero si avrebbe per il calcolo sopra d

dt

m

2| ˙X|²+k 2|X|²

≤ −αλµ²< 0 , cosicché

m

2| ˙X|²+k

2|X|²≤ C − αλµ²t ,

per ogni t > 0, impossibile perché l’ultima quantità diventa negativa in un tempo finito.

3. S

Ancora per il calcolo sopra, se

| ˙X(0)|²+|X(0)|²≤ δ², si ha

m

2| ˙X|²+k

2|X|²≤m + k 2 δ².

.5 Dire se in ciascuno dei seguenti casi il punto x = 0 è di equilibrio stabile per m ¨X =∇ U(X).

13)

U (x) =−(x⁴1+ x⁸₂+ x¹⁶₃ ) .

(5)

14)

U (x) =−(x²1+ x²₂) . 15)

U (x) =−(x1+ x²₂+ x²₃) . Soluzione

1. S

Il punto è di massimo isolato.

2. N

Il punto è di massimo, ma non isolato. (Sono possibili moti rettilinei uniformi sull’asse x³.)

3. N

Il punto x = 0 non è di equilibrio:

∇ U(0) = (−1,0,0) .

.6 Un punto si muove soggetto a una forza con direzione radiale, sul piano x₃ = 0. Il moto non è rettilineo.

16) Se X(0) = Le₁ e X(1) = Le₁, esiste un ¯t ∈ (0,1) tale che X(¯t) appartenga all’asse x2.

17) L’energia meccanica si conserva.

18) Supponiamo che, descrivendo il moto in coordinate polari, siano note le condizioni iniziali

r(0) , ϕ(0) , ˙r(0) , ϕ(0) .˙

Allora la conoscenza di una tra le due funzioni r(t) e ϕ(t) determina l’altra (senza necessità di conoscere la forza).

Soluzione 1. S

Altrimenti verrebbe contraddetto il fatto che la velocità areolare è costante.

2. N

In generale non si conserva, salvo il caso che la forza dipenda solo da r e non da ϕ.

3. S Infatti

r(t)²ϕ(t) = r(0)˙ ²ϕ(0) .˙

Quindi nota una delle due funzioni si trova l’altra (mediante un’integrazione nel caso si debba determinare ϕ).

.7 Consideriamo un moto X(t) = ψ(s(t)), con ψ ∈ C² curva regolare.

19) Nota la terna intrinseca (T (s(¯t)), N (s(¯t)), B(s(¯t))), l’accelerazione a può essere un qualunque vettore in hT (s(¯t)), N(s(¯t))i.

20) Può essere ˙s(t) = 0 per qualche t.

21) Per ogni istante

F(X(t), ˙X(t), t)∈ hT (s(¯t)), N (s(¯t))i .

(6)

Soluzione 1. N

Per esempio si può dire che a · N ≥ 0.

2. S

Il fatto che la curva ψ sia regolare non implica che debba esserlo la traiettoria del moto.

3. S

Infatti F = ma e a ha componente nulla lungo B.

.8 Un punto materiale (X, m) si muove vincolato alla curva regolare ψ, con curvatura positiva, soggetto alla forza F .

22) Se il vincolo è liscio e per ogni istante F · N = 0, allora fvin· N > 0.

23) Se F è conservativa, ma il vincolo è scabro, l’energia meccanica non può conservarsi (si consideri solo il caso ˙s 6= 0).

24) Se il vincolo è liscio, e F ≡ 0, allora fvin≡ 0.

Soluzione 1. N

In effetti nelle ipotesi dette

f_vin· N = m ˙s²k(s)≥ 0 , ma può essere in qualche istante ˙s(t) = 0.

2. N

Può essere che fvin= 0.

Si pensi al caso di un punto che soggetto alla forza elastica −cX è vincolato a x²1+ x²2= R², x3= 0 .

Se il punto ruota con velocità costante ˙s(t)²= cR²/m, allora

f_vin· N = m ˙s²R⁻¹− cR = 0 , f^vin· B = −F · B = 0 , e quindi anche f^tan_vin = 0.

3. N Per esempio

f_vin· N = m ˙s²k(s) che può essere diverso da 0.

.9 Un punto materiale si muove vincolato alla curva regolare ψ che è contenuta nella superficie S. Il vincolo è liscio.

25) La reazione vincolare f_vin è normale alla superficie, cioè ha componente tangente alla superficie nulla.

26) In ogni punto della curva, il vettore T è tangente alla superficie.

27) Se F è normale a S, allora ¨s(t) = 0 per ogni t.

Soluzione

(7)

1. N

Si pensi a una circonferenza contenuta nel piano S; la reazione può avere una componente lungo N che è tangente a S.

2. S

Noto dalla teoria.

3. S Infatti

m¨s = F · T = 0 , in questo caso.

.10 Un punto materiale è vincolato a una superficie regolare S di R³, soggetto alla sollecitazione F .

Dire se ciascuna delle affermazioni seguenti è corretta.

28) Se il vincolo è liscio e la forza direttamente applicata è nulla, la traiettoria del punto ha N normale a S.

29) Se il vincolo è scabro e la velocità non è nulla, mentre F = 0, l’energia cinetica non può conservarsi.

30) Se il vincolo è liscio, la superficie è una sfera, F = α(t)e1 (con α funzione continua assegnata), allora esistono moti di quiete.

ma = m¨sT + m ˙s²k(s)N = fvin.

Poiché T è sicuramente ortogonale a N e a fvin, si deve avere ¨s = 0, e quindi N risulta parallelo a fvin cioè a ν.

2. N

Può conservarsi se fvin = 0; per esempio se S è un piano e il moto è rettilineo uniforme.

3. S

Nelle due posizioni ±Re¹.

.11 Si consideri un sistema di punti materiali liberi (Xi, m_i), ciascuno soggetto alla forza Fi.

Si assumano le usuali ipotesi sulle forze interne.

31) Supponiamo che le forze siano tutte interne e date da forze elastiche di attrazione scambiate da tutti i punti Xi, i 6= 1 con X1. Allora il diametro del sistema, ossia maxi,j|Xi− Xj|, resta limitato lungo ciascun moto.

32) Se tutte le forze interne sono nulle, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme.

33) Supponiamo che a ogni istante X

i

F_i= 0 ,

e che ciascun punto del sistema parta da fermo. Allora tutti i moti restano immobili.

(8)

Soluzione 1. S

Infatti vale la conservazione dell’energia

T (t)− U(X¹(t), . . . , Xn(t)) = E , da cui

n

X

j=2

kj

2 |X^j− X¹|²=−U(X¹(t), . . . , Xn(t))≤ E . 2. N

Vale invece che se le forze esterne sono nulle il moto del centro di massa è rettilineo uniforme.

3. N

No, per esempio questo è il caso del primo quesito.

.12 Dire se ciascuno dei seguenti vincoli, per un sistema di 2 punti, è regolare in ogni configurazione compatibile; i vincoli sono definiti su R⁶. Le coordinate sono

Xi=

3

X

j=1

z_3(i−1)+jej, i = 1 ,2 . 34)

f₁(z) = z₁²+ z²₂− R² = 0 , f₂(z) = z₆ = 0 ,

f3(z) = z2− R = 0 . 35)

f₁(z) = z₂− z1²= 0 , f₂(z) = z₂− z4²= 0 . 36)

f₁(z) = z⁴₃+ z₃²− z1 = 0 , f₂(z) = z₁+ z₁³+ z²₃ = 0 . Soluzione

1. N

La iacobiana è: 



2z¹ 2z² 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 0 0



, che ha rango 2 se z¹= 0.

2. N

La iacobiana è:

−2z¹ 1 0 0 0 0

0 1 0 −2z⁴ 0 0

,

(9)

che ha rango 1 se z¹= z⁴= 0.

3. N

Il vincolo impone z¹= z3= 0. La iacobiana è

−1 0 4z3²+ 2z³ 0 0 0 1 + 3z²1 0 2z³ 0 0 0

, che ha rango 1 se z¹= z3= 0.

.13 Dire quali delle seguenti parametrizzazioni lagrangiane sono valide. Si assuma che i vincoli siano olonomi non degeneri.

37) Un solo punto vincolato da

f1(z) = z3− z1z2t = 0 , t > 0 . Parametrizzazione:

X^l(ϕ, θ) = ϕe₁+ θ²e₂+ ϕθ²te₃, con (ϕ, θ) ∈ R × (0, +∞).

38) Due punti vincolati da

f₁(z) = z₁²+ z₂²+ z₃²− R²= 0 , f₂(z) = z₃− z6 = 0 .

Parametrizzazione:

X^l₁(ϕ, θ, x, y) = R cos ϕ sin θe₁+ R sin ϕ sin θe₂+ R cos θe₃, X^l₂(ϕ, θ, x, y) = xe₁+ ye₂+ R cos θe₃,

(ϕ, θ, x, y)∈ (−π, π) × (0, π) × R × R.

f₁(z) = z₆− a(z4− z1)²− a(z5− z2)² = 0 . Parametrizzazione:

X^l₁(x, y, z, ξ, η) = xe1+ ye2+ ze3,

X^l₂(x, y, z, ξ, η) = ξe₁+ ηe₂+ a[(x− ξ)²+ (y− η)²]e₃. Soluzione

1. S

Vale la biunivocità. Iacobiana:





1 0

0 2θ

θ²t 2ϕθt



 , che ha rango 2 perché θ > 0.

(10)

2. S

Se rϕ, rθ indicano i soliti vettori tangenti alla sfera, e 0 ∈ R³ il vettore nullo, la iacobiana si può scrivere simbolicamente







rϕ rθ 0 0

0



 0 0

−R sin θ



 e1 e2





 ,

che ha rango 4.

3. S

La iacobiana consiste della matrice identità di dimensione 5 orlata da una sesta riga; quindi ha rango 5.

.14 Dire quali delle seguenti rappresentazioni lagrangiane della velocità sono possibili nel caso indicato. Qui ϕ e θ indicano le coordinate lagrangiane.

40) Per un vincolo fisso, ℓ = 2,

v^l= ˙ϕe1+ θ ˙θe2. 41) Per un vincolo mobile, ℓ = 3,

v^l= ˙ϕe₁+ tθ ˙θe₂+θ² 2e₂. 42) Per un vincolo fisso, ℓ = 1,

v^l= ˙ϕe^ϕe₁+ te₂. Soluzione

1. S

È una forma lineare nelle ˙q.

2. S

È una forma affine nelle ˙q.

3. N

Contiene un termine non di grado 1 in ˙q.

.15 Dire quali delle seguenti parametrizzazioni lagrangiane sono valide. Si assuma che i vincoli siano olonomi non degeneri.

43) Un solo punto vincolato da

f₁(z) = z₃− z1z₂t = 0 , t > 0 . Parametrizzazione:

X^l(ϕ, θ) = ϕe₁+ θ²e₂+ ϕθ²te₃, con (ϕ, θ) ∈ R × (0, +∞).

(11)

f₁(z) = z₁²+ z₂²+ z₃²− R²= 0 , f₂(z) = z₃− z6 = 0 .

Parametrizzazione:

X^l₁(ϕ, θ, x, y) = R cos ϕ sin θe1+ R sin ϕ sin θe2+ R cos θe3, X^l₂(ϕ, θ, x, y) = xe₁+ ye₂+ R cos θe₃,

(ϕ, θ, x, y)∈ (−π, π) × (0, π) × R × R.

f₁(z) = z₆− a(z4− z1)²− a(z5− z2)² = 0 . Parametrizzazione:

X^l₁(x, y, z, ξ, η) = xe₁+ ye₂+ ze₃,

X^l₂(x, y, z, ξ, η) = ξe₁+ ηe₂+ a[(x− ξ)²+ (y− η)²]e₃. Soluzione

1. S

Vale la biunivocità. Iacobiana:





1 0

0 2θ

θ²t 2ϕθt



 , che ha rango 2 perché θ > 0.

2. S

Se rϕ, rθ indicano i soliti vettori tangenti alla sfera, e 0 ∈ R³ il vettore nullo, la iacobiana si può scrivere simbolicamente







rϕ rθ 0 0

0



 0 0

−R sin θ



 e1 e2





 ,

che ha rango 4.

3. S

La iacobiana consiste della matrice identità di dimensione 5 orlata da una sesta riga; quindi ha rango 5.

.16 Dire quali delle seguenti rappresentazioni lagrangiane della velocità sono possibili nel caso indicato. Qui ϕ e θ indicano le coordinate lagrangiane.

46) Per un vincolo fisso, ℓ = 2,

v^l= ˙ϕe₁+ θ ˙θe₂.

(12)

47) Per un vincolo mobile, ℓ = 3,

v^l= ˙ϕe₁+ tθ ˙θe₂+θ² 2e₂. 48) Per un vincolo fisso, ℓ = 1,

v^l= ˙ϕe^ϕe₁+ te₂. Soluzione

1. S

È una forma lineare nelle ˙q.

2. S

È una forma affine nelle ˙q.

3. N

Contiene un termine non di grado 1 in ˙q.

.17 Un sistema di punti Xi è vincolato da vincoli olonomi regolari. Si assume l’ipotesi dei lavori virtuali.

49) Se il vincolo è fisso, allora la reazione vincolare su ciascun moto fa lavoro nullo.

50) Se il vincolo è mobile, il lavoro complessivo delle reazioni vincolari è nullo.

51) Se il vincolo è mobile, il lavoro virtuale complessivo delle reazioni vincolari è nullo.

Soluzione 1. N

Basta pensare a un punto vincolato a stare a distanza fissa da un altro quando solo a quest’ultimo viene applicata una forza.

2. N

Basta pensare a un punto sollevato da un ascensore.

3. S

Questa è una conseguenza immediata dell’ipotesi dei lavori virtuali.

.18 Dire se ciascuna delle seguenti espressioni può rappresentare l’energia cinetica in coordinate lagrangiane di un sistema vincolato come indicato.

In ciascun caso ℓ = 2 e (ϕ, θ) ∈ R² sono le coordinate lagrangiane; a, b, c, d > 0 sono costanti.

52) Vincoli mobili:

a²ϕ˙²+ ab ˙ϕ ˙θ + b²(1 + ϕ²) ˙θ². 53) Vincoli fissi:

a ˙ϕ²+ bϕ²˙θ². 54) Vincoli fissi:

a ˙ϕ²+ b ˙θ²+ cθ ˙θ + d . Soluzione

(13)

1. S

È una forma quadratica definita positiva.

2. N

Non è definita positiva se ϕ = 0.

3. N

Nel caso di vincoli fissi non devono apparire termini non quadratici nelle ˙q.

.19 Dire se ciascuno dei seguenti sistemi di componenti lagrangiane delle forze è conservativo in senso lagrangiano.

In ciascun caso ℓ = 2 e (ϕ, θ) ∈ R² sono le coordinate lagrangiane.

55)

Qϕ = ϕθ , Qθ = ϕ² 2 + t . 56)

Qϕ = ϕθ + ˙ϕ , Qθ = ϕ² 2 . 57)

Qϕ= ϕ², Qθ= θϕ . Soluzione

1. S

Potenziale lagrangiano:

U^l(ϕ, θ, t) = ϕ² 2 θ + tθ . 2. N

La Qϕ dipende da una ˙qh. 3. N

Non è soddisfatta la relazione di chiusura:

0 = ∂ Qϕ

∂θ 6=∂ Qθ

∂ϕ = θ .

.20 Dire quali delle seguenti lagrangiane possono essere la lagrangiana ridotta in una posizione (ϕ, θ) = (0,0) di piccole oscillazioni.

Qui ℓ = 2, (ϕ, θ) ∈ R² sono le coordinate lagrangiane e a, b, c, d > 0.

58)

a²ϕ˙²+ ab ˙ϕ ˙θ + b²˙θ²+ cϕ²+ dθ² 59)

a ˙ϕ²+ be^−ϕ²˙θ²− cϕ²− dθ². 60)

a ˙ϕ²+ b ˙θ²− c²ϕ²− 2cdϕθ − d²θ². Soluzione

1. N

L’hessiana del potenziale è definita positiva.

(14)

2. N

L’hessiana del potenziale è definita negativa, ma i coefficienti dell’energia cinetica non sono costanti.

3. N

L’hessiana del potenziale è solo semidefinita negativa.

.21 Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

61) Sia (uh) una base ortonormale positiva di R³, con u₁ = e₂+ e3

√2 .

Allora u₂ e u₃ non possono giacere sul piano x₃ = 0.

62) Assegnato u1, per dare la posizione di u2 e u3 basta un solo angolo.

63) Siano (uh) e (w_h) due basi ortonormali positive di R³, con u1× w1 = 0.

Allora u₂× u3 = w₁. Soluzione

1. N

Per esempio si può prendere

u2= e1, u3= u1× u²=e2√− e³ 2 . 2. S

Fissata una direzione sul piano ortogonale a u¹, un angolo è sufficiente per dare la posizione di u², e poi u³= u1× u².

3. N

Certamente u²× u³= u¹ è parallelo a w¹, ma potrebbe essere uguale a −w¹. .22 Denotiamo con M = (uh) una terna mobile ortonormale positiva, e con ω la sua velocitÃ angolare.

64) Se ω(t) = λe₁, λ ∈ R \ {0}, allora il vettore te1 è solidale alla terna.

65) Se le componenti di ω in M sono costanti, allora ω è costante [nella terna fissa].

66) Se ω(t) × e1= 0 per ogni t, allora

de1

dt

M

= 0 . Soluzione

1. N

Un vettore solidale deve avere modulo costante.

2. S Infatti

dω

dt = dω dt

M

+ ω× ω = 0 . 3. S

Infatti

0 = de1

dt = de1

dt

M

+ ω× e¹= de1

dt

M

.

(15)

.23 Denotiamo con S = (XO, (uh)) una sistema mobile di riferimento, e con ω la sua velocitÃ angolare.

67) Se ω è costante, l’accelerazione di trascinamento è una forma quadratica nelle componenti di ω.

68) La differenza tra le velocità di trascinamento di due moti X1 e X2 è ortogonale a X1− X2.

69) Se X è un moto solidale con S, la sua velocità coincide con la velocità di trascinamento, e la sua accelerazione con l’accelerazione di trascinamento.

Soluzione 1. N In quel caso

a^t= aO+ ω× [ω × (X − X^O)] , quindi l’affermazione è falsa se aO6= 0.

2. S Infatti

(vt)1− (v^t)2= ω× (X¹− X²) . 3. S

Infatti per un moto solidale vS = 0, aS = 0 e anche a^c = 2ω× v^S= 0, quindi v= vS+ v^t = v^t, a= aS + a^t+ a^c= a^t.

.24 Sia X(t) = ψ(s(t)) un moto vincolato alla curva regolare ψ, con k > 0.

Definiamo la terna mobile M = (T (s(t)), N(s(t)), B(s(t)). Denotiamo con ω la velocità angolare di M rispetto alla terna fissa.

70) Se la curva non è una retta, allora ω non è costante.

71) La componente di ω lungo il vettore B è sempre positiva.

72) Se il moto è uniforme e ω è costante (non nullo) allora curvatura e torsione sono costanti. [Si assuma tutta la regolarità necessaria.]

Soluzione 1. N

Ricordiamo la formula

ω= ˙s[−τT + kB] .

Nel caso della circonferenza percorsa con moto uniforme, τ(s) = 0 e k(s) = 1/R, mentre B è la normale al piano della circonferenza.

2. N

Infatti il segno di ˙s può variare.

3. S Deriviamo

0 = d

dt[−τT + kB] = ˙s[−τ^′T+ k^′B− τkN + kτN ] = ˙s[−τ^′T+ k^′B] . .25 Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

(16)

73) Un sistema vincolato da vincoli rigidi, con almeno 3 punti distinti, ha 6 gradi di libertà.

74) Sia (XO,M) il sistema di riferimento solidale al sistema rigido non degenere. Se due angoli di Eulero sono costanti e XO è fisso, il moto del sistema rigido è una rotazione.

75) Sul moto di un sistema rigido non degenere imponiamo la restrizione sul versore solidale u3 che u3· e3> 0. Questo diminuisce il numero dei gradi di libertà.

Soluzione 1. N

Occorre che i punti ne contengano almeno 3 non allineati.

2. S

Ricordiamo che ω = ˙φe³+ ˙θw1+ ˙ψu3. Nei casi in cui θ è costante ω è diretta come un versore solidale o fisso, e allora sappiamo che l’asserto è vero. Ma anche se sono φ e ψ a essere costanti, vale che

w¹= cos φe¹+ sin φe² risulta costante e quindi siamo nella stessa situazione.

3. N

No, restringe solo l’aperto in cui variano gli angoli di Eulero; in particolare si dovrà avere θ ∈ (0, π/2).

.26 Un corpo rigido è formato da un guscio a forma di cubo.

76) Il centro di massa è sempre all’interno del cubo.

77) Si assuma: tutte le facce hanno la stessa massa, e su ciascuna la densità dipende solo dalla distanza dal centro della faccia stessa. Allora il centro di massa coincide con il centro geometrico del cubo.

78) La densità del guscio sia data da

ρ(λ) dµ = ρ₀dS + m dδ^λ0(λ) ,

con ρ0, m > 0 e λ0 ∈ guscio assegnati. Qui dS è la misura di superficie.

Allora la posizione λ0 che allontana di meno il centro di massa dal centro geometrico del cubo è nel centro di una delle facce.

Soluzione 1. S

Infatti il cubo è un convesso; in effetti il centro di massa è interno al cubo perché la densità non può annullarsi su nessuna faccia.

2. S

Usiamo l’additività: il centro di massa di ciascuna faccia è il centro geometrico λi della stessa, per simmetria materiale. Quindi il centro di massa del guscio è la media con uguali coefficienti dei λi, ossia il centro del cubo.

3. S

Usiamo ancora l’additività: se A è l’area del guscio,

(Aρ0+ m)λCM = Aρ0λcentro geometrico+ mλ0.

(17)

La posizione che minimizza la distanza dal centro geometrico (sul guscio) è quella indicata.

.27 Sia σGil tensore d’inerzia di un corpo rigido non degenere nel suo centro di massa G.

79) Se ω(¯t) è parallela a un asse principale, allora LG(¯t) è parallela a ω(¯t).

80) Se LG è costante nella terna fissa, allora ω è costante nella terna fissa.

81) Vale LG(t)· ω(t) ≥ c0|ω(t)|², per ogni t, con c0 > 0 opportuno.

LG(¯t) = σG(¯t)ω(¯t) = cω(¯t) . 2. N

Scomponendo nella terna fissa, il sistema 3 × 3 nelle componenti di ω σG(t)ω(t) = LG(t0)

ha la colonna dei termini noti costante, ma non i coefficienti del sistema.

3. S

Possiamo scomporre infatti LG = σGω in una terna solidale; certamente G è solidale; quindi la matrice di σG è costante e definita positiva.

.28 Dire se in ciascuno dei seguenti sistemi di riferimento S = (XO, (u_h)) solidali con il corpo rigido omogeneo indicato la terna è principale.

82) Cubo solido; XO vertice del cubo; u1 diretta come la diagonale del cubo passante per XO.

83) Tre punti materiali ai vertici di un triangolo equilatero (di uguale massa);

XO il centro di massa; la terna è arbitraria con u3 ortogonale al piano del triangolo.

84) Rettangolo con lati diversi; XO centro di massa del rettangolo; u1

parallelo a una diagonale del rettangolo e u3 ortogonale al rettangolo.

Soluzione 1. S

Per il teorema di Huygens, tenendo conto che nel centro del cubo tutte le terne sono principali.

2. S

Per motivi di simmetria, u¹ può essere scelto come una qualsiasi delle 3 congiun- genti G con i vertici del triangolo; allora per le proprietà di minimo e massimo dei momenti d’inerzia principali, I¹¹ = I22 e tutte le direzioni nel piano del triangolo sono principali.

3. N

Occorre calcolare l’integrale (qui λhsono le coordinate nel sistema solidale indicato) I¹²=−ρ⁰

Z Z

R

λ¹λ²dλ¹dλ²6= 0 ,

come si vede con considerazioni di simmetria di integrando e dominio di integrazione.

(18)

.29 Consideriamo un disco di raggio R vincolato a giacere sul piano x3 = 0.

Usiamo come coordinate lagrangiane le coordinate cartesiane x, y ∈ R del centro del disco e ϕ ∈ (−π, π) tale che

u₁= cos ϕe₁+ sin ϕe₂,

se (uh) è una terna solidale al disco con u₃ = e₃. Sul disco è applicata la distribuzione di forze dF^l.

85) Sia

dF^l = µT (s) ds ,

con µ > 0 costante e T (s) versore tangente sulla circonferenza bordo del disco; ds rappresenta la misura di lunghezza sulla stessa circonferenza. Allora le componenti lagrangiane delle forze sono nulle.

86) Sia

dF^l =−kX^l(q, λ) dS ,

con k > 0 costante, e dS misura di superficie sul disco. Allora Qϕ = 0.

87) Sia

dF^l =−kX^l(q, λ) dδλ₀, con k > 0 costante e λ0 solidale al disco. Allora Qϕ = 0.

Soluzione 1. N Si ha

Qx= 0 , Qy = 0 , Qϕ= 2πµR². 2. S

Infatti l’integrale relativo ha per integrando una funzione lineare di sin ϕ e cos ϕ che ovviamente hanno integrale nullo sul disco.

3. N

Infatti se l’origine del sistema solidale è il centro del disco, e supponendo che λ⁰ sia sull’asse di u¹, cosicché

∂ X^l

∂ϕ = λ⁰¹u²(ϕ) , si ha

Qϕ= Z

disco

dF^l·∂ X^l

∂ϕ =−k(xe¹+ ye²+ λ⁰¹u¹(ϕ))· λ⁰¹u²(ϕ)

=−kλ⁰¹(−x sin ϕ + y cos ϕ) .

Prova a distanza del 30/11/2020

I.1Un corpo rigido non degenere si muove di moto polare di polo Z. Su di esso agisce una distribuzione di forze

dF = [α(λ)u1+ β(λ)u₂+ γ(λ)u₃] dλ .

(19)

Qui λ indica le coordinate solidali e (uh) è una terna solidale.

Domanda 01: Dire quale è l’unica corretta delle seguenti affermazioni.

a: Le equazioni di Eulero si possono considerare equazioni del primo ordine in ω.

b: Il vettore M^ext_Z è fisso nella base fissa.

c: Nessuna delle precedenti.

Domanda 02: Se I11= I₂₂= I₃₃, l’energia cinetica è:

a: costante.

b: crescente.

Domande 03: Se I₁₁ = I₂₂ e α, β si annullano ovunque, allora ω = P

hω_hu_h ha

a: una sola componente costante.

b: due componenti costanti.

Soluzione 01: a

Infatti le componenti di M^ext_Z in (uh) sono costanti.

02: c

Le componenti di ω in (uh) hanno derivata costante, quindi l’andamento di T dipende dalle condizioni iniziali.

03: a

La terza equazione di Eulero dà

˙ω3= 0 ,

mentre le prime due in genere hanno membro di destra non nullo.

I.2 Un rettangolo (non quadrato) si muove di moto polare intorno al suo centro di massa G. Di fatto comunque il moto è una rotazione non nulla intorno a un asse solidale passante per il suo centro G, di versore u₁, ove (u_h) è una base solidale. Sul rettangolo agisce il momento M^ext_G .

Domanda 04: Si dica quale è l’unica corretta tra le seguenti affermazioni.

a: Se u₁ appartiene al piano del rettangolo, allora M^ext_G × u1 = 0.

b: Se u1 è ortogonale al piano del rettangolo, allora M^ext_G × u1 = 0.

Domanda 05: Supponiamo che u1 appartenga al piano del rettangolo e M^ext_G = 0. Si dica quale è l’unica corretta tra le seguenti affermazioni.

a: u1 può avere una tra due sole direzioni solidali.

b: u1 può avere una sola direzione solidale.

Domanda 06: Supponiamo che M^ext_G × u1 = 0. Si dica quale è l’unica corretta tra le seguenti affermazioni.

a: La rotazione è costante.

b: La rotazione non è costante.

Soluzione

(20)

04: b

Il momento è parallelo all’asse di rotazione se e solo se questo è principale; la direzione ortogonale a una lamina è principale (in un punto del piano della lamina).

05: a

Il versore u¹ deve essere principale, altrimenti M^ext_G deve avere una componente ortogonale a u¹ diversa da 0. In G solo due direzioni del piano del rettangolo sono principali.

06: c

L’asse di rotazione deve essere principale, ma dato che non conosciamo M^ext_G · u¹ non possiamo sapere se la rotazione è uniforme o no.

I.3Un corpo rigido non degenere si muove di moto polare per inerzia intorno al polo XO.

Domanda 07: Sia u(t) un versore solidale al rigido. Si dica quale è l’unica corretta tra le seguenti affermazioni.

a: LO(t)· u(t) è costante.

b: ω(t) · u(t) è costante.

Domanda 08: Sia Em(t) l’ellissoide d’inerzia che si muove sul piano fisso Π nel moto alla Poinsot. È vero che il punto di E^m(t) a contatto tra E^m(t₀) e Π deve tornare a esserlo in un istante t₁> t₀?

a: Sì, se la geometria del corpo è speciale.

b: Sì, in ogni caso.

Domanda 09: Si sa che il moto è una rotazione. Si dica quale è l’unica corretta tra le seguenti affermazioni.

a: LO(t) è solidale.

b: L’ellissoide d’inerzia è di rotazione.

Soluzione 07: c

In generale né LO né ω sono solidali.

08: a

Se l’ellissoide d’inerza è di rotazione. Altrimenti esistono le poloidi di separazione che non corrispondono a moti periodici.

09: a

Se il moto è una rotazione per inerzia, avviene intorno a un asse principale ed è uniforme, quindi

LO(t)σOω(t) = Iω(t) è solidale.

Prova a distanza del 07/12/2020

I.1 Un disco di massa M e raggio R è vincolato a avere il centro G sul cilindro

x²₁+ x²₂ = L²,

(21)

e a mantenersi a esso tangente. Qui L > 0 e le xi denotano le coordinate nel sistema di riferimento fisso. Si usino le coordinate lagrangiane z = x3G∈ R, θ ∈ (−π, π) angolo di rotazione del disco intorno all’asse a esso ortogonale in G, e ϕ ∈ (−π, π) tale che

X^l_G(z, θ, ϕ) = L cos ϕe₁+ L sin ϕe₂+ ze₃.

Qui I indica il momento d’inerzia del disco relativo a un suo diametro.

Domanda 01: Calcolare l’energa cinetica del disco nel sistema di riferimento fisso.

a:

T^l= M

2 (R²ϕ˙²+ ˙z²) +1

2(2I ˙θ²+ I ˙ϕ²) . b:

T^l= M

2 (L²ϕ˙²+ ˙z²) + 1

2(2I ˙θ²+ I ˙ϕ²) . c: Nessuna delle precedenti.

Domanda 02: Quale affermazione è vera per il momento delle quantità di moto rispetto a G?

a: È sempre ortogonale al disco.

b: Scomposto nella base solidale (u1, u₂, u₃) con u₃ ortogonale al disco, ha le prime due componenti uguali.

Domanda 03: Da quali coordinate lagrangiane (e loro derivate) dipende la quantità di moto del disco?

a: ϕ e z.

b: θ e z.

Soluzione 01: b

Usiamo il Teorema di König:

T =m

2|vG|²+1

2σ_Gω· ω . Quindi

v_G=−L ˙ϕ sin ϕe¹+ L ˙ϕ cos ϕe²+ ˙ze³. Infine, introducendo la terna ausiliaria N = (wh) con

w1= cos ϕe1+ sin ϕe2, w2= w3× w¹, w3= e3, si ha per Z = (e^h)

ω= ωZ N + ωN M= ˙ϕw3+ ˙θw1.

Se I è il momento diametrale del disco, la b segue dalla simmetria del disco.

(22)

02: c

Si ha (nelle componenti della terna N introdotta sopra)

LG= σGω=





2I 0 0

0 I 0

0 0 I









˙θ 0

˙ ϕ



=



 2I ˙θ

0 I ˙ϕ



. 03: b

È noto

P = mvG = m(−L ˙ϕ sin ϕe¹+ L ˙ϕ cos ϕe2+ ˙ze3) .

I.2Un sistema di punti Xi è vincolato da vincoli olonomi regolari. Si assume l’ipotesi dei lavori virtuali.

Domanda 10: Dire quale delle seguenti affermazioni è l’unica corretta.

a: Se il vincolo è fisso, allora la reazione vincolare su ciascun moto fa lavoro nullo.

b: Se il vincolo è mobile, il lavoro virtuale complessivo delle reazioni vincolari Ã¨ nullo.

Domanda 11: Qui (z1, t₁) e (z₂, t₂) sono configurazioni compatibili con z₁ = z₂ e t₁ 6= t2. Dire quale delle seguenti affermazioni è l’unica corretta.

a: Lo spazio tangente al vincolo è lo stesso nelle due configurazioni, se i vincoli sono fissi.

b: Lo spazio tangente al vincolo non è lo stesso nelle due configurazioni, se i vincoli sono mobili.

Domanda 12: Quale è la dimensione dello spazio normale al vincolo?

a: Il numero dei gradi di libertà ℓ.

b: Il numero delle coordinate locali nc. c: Nessuna delle precedenti.

Soluzione 01: b

È l’ipotesi dei lavori virtuali.

02: a

Ovvio; b potrebbe non essere vero (si pensi a un vincolo periodico).

03: c

Infatti è m = nc− ℓ.

I.3Il sistema di riferimento mobile S = (XO,M) si muove di moto rigido piano (quindi ω(t) 6= 0).

Domanda 01: Nel piano fisso Π che passa per l’origine del sistema di riferimento fisso ed è ortogonale a ω, possono esistere all’istante ¯t due punti x₁6= x2 tali che Vt(x₁, ¯t) = Vt(x₂, ¯t) = 0.

a: No, mai.

(23)

b: Solo se vO(t) = 0.

Domanda 02: Su una superficie sferica di centro XO e di raggio R > 0 arbitrario esistono in un assegnato istante ¯t punti ove |V^t(x, ¯t)| raggiunge il suo minimo su R³.

a: No, mai.

b: Sì se vO(¯t) = 0.

Domanda 03: È possibile che base e rulletta siano due circonferenze, con la rulletta esterna alla base.

a: Sì.

b: No, salvo il caso in cui le circonferenza hanno lo stesso raggio.

Soluzione 01: a

Questo implicherebbe che la velocità di trascinamento ortogonale a ω si annul- lasse in entrambi; questo però avviene solo nel centro del moto, in ciascun piano rappresentativo.

02: b

In questo caso l’asse di istantanea rotazione passa per XO, quindi interseca tutte le sfere indicate.

03: a

Si può costruire il moto proprio a partire da quello di rotolamento puro della circonferenza esterna sulla interna.

I.4 Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è corretta.

1) Sia (uh) una base ortonormale positiva di R³, con u₁ = e₂+ e₃

√2 .

Allora u2 e u3 non possono giacere sul piano x3 = 0.

2) Assegnato u1, per dare la posizione di u2 e u3 basta un solo angolo.

3) Siano (uh) e (w_h) due basi ortonormali positive di R³, con u1× w1 = 0.

Allora u2× u3 = w₁. Soluzione

1. N

Per esempio si può prendere

u2= e1, u3= u1× u²=e2− e³

√2 . 2. S

Fissata una direzione sul piano ortogonale a u¹, un angolo è sufficiente per dare la posizione di u², e poi u³= u¹× u².

3. N

Certamente u²× u³= u¹ è parallelo a w¹, ma potrebbe essere uguale a −w¹.

(24)

I.5 Denotiamo con M = (uh) una terna mobile ortonormale positiva, e con ω la sua velocitÃ angolare.

4) Se ω(t) = λe1, λ ∈ R \ {0}, allora il vettore te1 è solidale alla terna.

5) Se le componenti di ω in M sono costanti, allora ω è costante [nella terna fissa].

6) Se ω(t) × e1 = 0 per ogni t, allora

de1

dt

M

= 0 . Soluzione

1. N

Un vettore solidale deve avere modulo costante.

2. S Infatti

dω

dt = dω dt

M

+ ω× ω = 0 . 3. S

Infatti

0 = de1

dt = de1

dt

M

+ ω× e¹= de1

dt

M

.

I.6 Denotiamo con S = (X^O, (u_h)) una sistema mobile di riferimento, e con ω la sua velocitÃ angolare.

7) Se ω è costante, l’accelerazione di trascinamento è una forma quadratica nelle componenti di ω.

8) La differenza tra le velocità di trascinamento di due moti X1 e X2 è ortogonale a X1− X2.

9) Se X è un moto solidale con S, la sua velocità coincide con la velocità di trascinamento, e la sua accelerazione con l’accelerazione di trascinamento.

Soluzione 1. N In quel caso

at= aO+ ω× [ω × (X − X^O)] , quindi l’affermazione è falsa se aO6= 0.

2. S Infatti

(v^t)¹− (v^t)²= ω× (X¹− X²) . 3. S

Infatti per un moto solidale vS = 0, aS = 0 e anche a^c = 2ω× v^S= 0, quindi v= vS+ v^t = v^t, a= aS + a^t+ a^c= a^t.