Compito di Fisica Matematica, 17/2/2005
Prof. F. Bagarello
Lo studente risolva almeno quattro dei seguenti quesiti:
(1) Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) =
(
ex, x ∈ [−π/2, π];
0, altrove,
(2) Sia f (x) una funzione di L([−π, π]), che risulti derivabile due volte, soddisfacente la f (−π) = f (π), la f0(−π) = f0(π) e che inoltre abbia derivata seconda f00(x) continua in [−π, π]. Dimostrare che il coefficiente Pn = π1Rπ
−πf (x) cos(nx) dx dell’espansione di Fourier della f (x) tende a zero quando n diverge almeno come n121. Cosa si pu`o dire per il coefficiente Dn?
(3) Calcolare esplicitamente l’espressione dei primi 4 polinomi di Legendre e verificarne l’ortonormalit`a in L2([−1, 1]).
(4) Applicare la procedura di Gram-Schmidt alle funzioni f0(x) = 1, f1(x) = x e f2(x) = x2, ed ottenere tre funzioni ortonormali in L2(0, 1).
(5) Verificare che la funzione f (x) =
( 1
√2x−1, 12 < x < 34;
sin(x)
√2x−1, 34 ≤ x ≤ 1,
appartiene allo spazio L1(E) ma non allo spazio L2(E), dove E = [1/2, 1].
(6) Calcolare la derivata debole del segnale ϕ(t) = u(t) sin(t)et. (7) Calcolare trasformata ed antitrasformata di Laplace della funzione
f (t) =
1/2, t ∈ [0, 1[;
−1, t ∈ [1, 2[;
0, altrove.
1Si suggerisce di adoperare l’integrazione per parti.
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