Adattamento degli algoritmi

Le caratteristiche del nostro problema, ovvero permeabilità scalare, passaggio da grid regolare uniforme ad uno a maglie poligonali di forma e dimensioni molto variabili, non sovrapposti, impediscono di utilizzare tecniche deterministiche come i metodi che prevedono la risoluzione dell'equazione del usso (come il General Tensor Scaling, o la KDF di Kruel-Romeu). Di fatto,

i metodi euristici per il calcolo della permeabilità dei blocchi sembrano i più attraenti, previa adattamento ed, eventualmente, calibrazione. In questo paragrafo sono illustrati gli sviluppi (per lo più euristici anche loro. . . ) che gli algoritmi e i risultati appena visti suggerivano e che saranno utilizzati nel seguito della tesi.

3.3.1 Rinormalizzazione Semplicata su maglia poligonale

Innanzitutto l'algoritmo di Rinormalizzazione Semplicata deve essere adattato alla forma po- ligonale dei grid di Voronoï. L'idea di partenza è compresa nell'algoritmo stesso proposto da Renard, il quale può essere applicato a maglie rettangolari di dimensioni arbitrarie memorizzan- do a ciascuna iterazione la supercie dei blocchi intermedi, ed utilizzando nei raggruppamenti una media ponderata dalla dimensione stessa dei blocchi che vi partecipano. Quello che si sug- gerisce consiste essenzialmente nel ridurre il problema della maglia poligonale ad un problema sulla maglia rettangolare che la circoscrive aggiungendo un livello di ponderazione per tener conto della supercie del poligono eettivamente ricoperta dai blocchi rettangolari intermedi che si raggruppano di volta in volta. Così denito, l'algoritmo resta di tipo locale, ovvero la Kb è valutata solo a partire da valori di permeabilità macroscopica eettivamente contenuti nel

blocco.

Figura 3.2: Discretizzazione di una cella poligonale

Il procedimento è piuttosto semplice; per chiarezza, la maglia quadrata del grid geostatistico verrà chiamata cella; il blocco sarà la maglia intermedia (dunque formata raggruppando diverse

celle nel corso dell'algoritmo), mentre per maglia si intenderà il supporto poligonale del grid idrodinamico.

1. ogni maglia poligonale viene discretizzata nelle celle che compongono il più piccolo rettan- golo che la contiene (g. 3.2);

2. a ciascuna cella viene assegnato un peso iniziale (che si chiamerà appartenenza): 1 se il centro della cella è contenuto nella maglia poligonale, e 0 altrimenti;

3. si comincia, sul rettangolo, l'algoritmo iterativo di composizione delle celle, ponderato per la loro appartenenza. Una cella di appartenenza nulla, ovvero non contenuta nella maglia poligonale, non partecipa alla media, che sarà allora il valore della cella ad appartenenza non-nulla;

4. i blocchi hanno un'appartenenza pari alla somma delle appartenenze dei blocchi (o celle) di cui sono composti;

5. si ripassa al punto 3 no ad ottenere un solo valore per il rettangolo.

Si noti che oltre al peso chiamato appartenenza è necessario memorizzare la dimensione eettiva dei blocchi intermedi, in quanto, se il numero di celle contenute nei lati del rettangolo non è una potenza di due, l'algoritmo arriverà a raggruppare blocchi di supercie dierente. In gura (3.3) viene illustrato il procedimento.

Media armonica Media aritmetica Flusso

Figura 3.3: Rinormalizzazione Semplicata generalizzata su maglia poligonale. Il colore simbo- lizza il peso (appartenenza) con cui ad ogni raggruppamento un blocco entra nella media con il blocco adiacente, e che dipende dalla porzione della maglia poligonale eettivamente ricoperta dai blocchi. In realtà anche la dimensione stessa dei blocchi deve essere ricordata ad ogni passaggio.

3.3.2 Rinormalizzazione della Componente Normale

Nel caso di permeabilità scalare, l'algoritmo di Rinormalizzazione Semplicata presuppone la conoscenza a priori della direzione di usso, cosa evidentemente impensabile in un caso di applicazione pratica, come ad esempio in regime radiale complesso indotto da pozzi di estrazione/iniezione.

Per superare questo problema, si può sfruttare una delle ipotesi alla base dello schema ai volumi niti. Esso calcola il bilancio dei ussi (e dei ussi di concentrazione) tra due maglie adiacenti considerando esclusivamente la componente del usso diretta lungo la congiungente i due centri-maglia; ora, per le proprietà dei poligoni di Voronoï (2.3.1), accade che la frontiera tra le maglie adiacenti sia proprio perpendicolare alla congiungente i nodi e, in secondo luogo,

equidistante da essi. La componente del usso in direzione parallela alla frontiera tra due ma- glie non entra in alcun modo nel bilancio complessivo. Allora possiamo limitarci a calcolare la permeabilità equivalente che apparirebbe se il moto del uido fosse eettivamente in direzione normale ai conni della maglia. Naturalmente, trattandosi di maglie poligonali, questo ragio- namento è da applicarsi a ciascun lato della maglia. Un approccio simile è descritto da Jenny

et al. (2003).

L'idea è allora di dividere una maglia poligonale in zone di inuenza determinate solo dalla sua geometria, per le quali si possa considerare nota a priori la direzione del usso; su queste zone sarà possibile applicare l'algoritmo di Rinormalizzazione Semplicata ottenendo un valore scalare di permeabilità equivalente per ciascuna zona; inne, i valori così ottenuti verranno ricomposti per ottenere un valore della Kb per la maglia.

Oi

Figura 3.4: Schema della Rinormalizzazione Semplicata della componente normale. La maglia

I di centro Oi viene decomposta in sub-triangoli; per ciascun sub-triangolo si calcola una permea-

bilità intra-triangolo, ssata la direzione del usso secondo la normale esterna. Le permeabilità così calcolate vengono ricomposte in una permeabilità equivalente per la maglia I, utilizzando una media aritmetica ponderata dalla supercie dei sub-triangoli.

La messa in opera di questa idea è piuttosto semplice ed il procedimento è illustrato in gura

3.4. L'algoritmo consiste schematicamente in:

1. scomporre ogni maglia in subtriangoli aventi come vertici il centro della maglia (o nodo) e gli estremi dei lati del poligono;

2. per ciascun subtriangolo, si considera una direzione di usso diretta lungo la normale al lato esterno del triangolo;

3. per ciascun subtriangolo, si calcola una permeabilità equivalente scalare con l'algoritmo di Rinormalizzazione Semplicata;

4. la Kb della maglia è la media aritmetica delle permeabilità dei triangoli ponderata dalla

loro supercie dei subtriangoli.

Per la ricomposizione dei valori, a priori, sarebbe possibile applicare anche la regola geometri- ca; tuttavia si è arbitrariamente scelta la media aritmetica per privilegiare le forti permeabilità, contrastando il possibile eetto di sottostima della permeabilità equivalente messo in evidenza nel paragrafo3.2.2. Nel seguito ci riferiremo a questo algoritmo col nome di Rinormalizzazione della Componente Normale. Certamente, se è intuitiva l'idea di dividere la maglia in zone di

inuenza e di considerare per ciascuna di esse un diverso problema idrodinamico, il fatto che un solo valore di permeabilità equivalente debba poi racchiudere in sé la somma di tali diversi contributi appare limitante. Nel prossimo paragrafo sarà descritto come si può superare questa impasse.

3.3.3 Upscaling inter-maglia

Nei modelli ai volumi niti, come anche alle dierenze nite, le permeabilità eettivamente usate nelle equazioni discretizzate sono le inter-maglia, calcolate come media armonica tra le due permeabilità dei blocchi che caratterizzano due maglie adiacenti (??). Da questo punto di vista, appare come un'incongruenza, nel metodo di Rinormalizzazione della Componente Normale, quella di comporre delle permeabilità equivalenti che già assomigliano molto a delle inter- maglia, in quanto calcolate considerando soltanto lo scambio di uidi tra due maglie adiacenti, in un valore unico intra-maglia. Tale Kbunica verrà poi riutilizzata di volta in volta per calcolare

le permeabilità inter-maglia usate eettivamente dal modello. Perché piuttosto non calcolare direttamente le inter-maglia?

La maniera di procedere è davvero molto semplice: dati due nodi (centri-maglia) contigui, si selezionano le permeabilità macroscopiche che cadono dentro il quadrilatero che ha per vertici appunto i due nodi e gli estremi della frontiera in comune tra le due maglie; tale quadrilatero non è altro che l'unione dei subtriangoli descritti nella Rinormalizzazione della Componente Normale. Date le proprietà dei poligoni di Voronoï, inoltre, tale frontiera è equidistante dai due nodi e perpendicolare alla loro congiungente, il che signica che i due subtriangoli hanno la medesima supercie, ma anche che la direzione del usso -intesa come unica componente utile ai ni del bilancio tra le maglie- è uguale in entrambi. A questo punto si può allora applicare il metodo di Rinormalizzazione Semplicata, come anche le altre medie (che non dipendono dalle condizioni di usso). In gura 3.5, si è evidenziato in rosa il quadrilatero che darà origine alla permeabilità inter-blocco KIJ.

Un'analogia elettrica può servire ad illustrare con maggiore chiarezza la concettualizzazione del problema. Si può pensare allo schema ai volumi niti come se si sostituisse al continuum materiale del mezzo poroso una rete elettrica a costanti concentrate, in cui i nodi corrispondano ai centri delle maglie del grid idrodinamico, e le resistenze, inserite tra un nodo e l'altro, dipendano dalle resistenze distribuite del mezzo poroso continuo attraversato dalla congiungente tra i nodi. La messa in pratica di quest'idea ha richiesto un certo sforzo di programmazione da parte degli sviluppatori di Hytec; ma ha altresì comportato una semplicazione ulteriore nel proce- dimento di upscaling che si risolve in maggior precisione e rapidità di calcolo. Dal punto di vista della programmazione del cambiamento di scala, essa non pone nessuna dicoltà se non quella di considerare la tabella delle connessioni del grid idrodinamico.

E' d'obbligo sottolineare che questo procedimento vìola in qualche maniera l'ipotesi alla base della discretizzazione in volumi niti, poiché di fatto i valori delle permeabilità sono calcolati su un grid diverso rispetto quello su cui Hytec risolve usso e trasporto; questo costituirà una piccola dicoltà quando, nel caso di trasporto reattivo, bisognerà aggiornare la permeabilità in seguito ai cambiamenti di porosità, dato che essi sono deniti, appunto, su un supporto die- rente. D'altro canto, poiché la dimensione media del supporto utilizzato ai ni del cambiamento di scala della permeabilità è di almeno un fattore 2 più piccola di quelle dei poligoni di Vo- ronoï, si ottengono immediatamente due grossi vantaggi: da una parte una rappresentazione migliore della variabilità spaziale del mezzo poroso, il che permette di considerare strutture spa- ziali che altrimenti andrebbero perdute nell'upscaling, e dall'altra, proprio perché contenenti

I J K Oi Oj Ok ~nik

Figura 3.5: Approccio inter-maglia. Si applica l'algoritmo di Rinormalizzazione Semplicata al rombo costituito da 2 sub-triangoli adiacenti, di colore rosa in gura. La direzione del usso è ancora una volta ssata dalla normale al bordo di conne tra le due maglie.

meno variabilità in ragione della loro ridotta dimensione, una minore sensitività al metodo di composizione delle permeabilità.

Anche il tempo di calcolo, rispetto alla Rinormalizzazione Semplicata applicata ai sub- triangoli, viene abbassato; in denitiva, pare che non ci siano che vantaggi nell'adottare un approccio inter-maglia.