Descrizione della variabilità spaziale e simulazione

6.4.1 Il modello di corregionalizzazione intrinseca

Nel capitolo4è stata già presentata e discussa la metodologia per simulare la permeabilità, che si riassume in una simulazione gaussiana a piccola scala, su una griglia ne e regolare, seguita da una trasformazione lognormale e inne dal cambiamento di scala. Il medesimo procedimento si applica quando si vogliono simulare più variabili contemporaneamente: a partire da simulazioni indipendenti si ottengono delle gaussiane correlate che possono poi essere trasformate mediante una semplice anamorfosi per ottenere le distribuzioni cercate delle variabili. Il cambiamento di scala della permeabilità può essere condotto con una tecnica rapida senza incorrere in errori apprezzabili; per quanto riguarda le altre grandezze da simulare, ovvero porosità e concentrazioni minerali, esse sono additive: il cambiamento di scala consiste nella semplice media aritmetica.

Per illustrare con semplicità la metodologia, si prenderanno in esame, in un primo momento, solamente porosità e permeabilità. Si consideri una relazione tra variabili aleatorie gaussiane ridotte della forma seguente:

Yk= ρYω+

p

1 − ρ2_{· R (6.5)}

dove ρ = cov(Yk,Yω)

σk·σω è il coeciente di correlazione tra Yk e Yω; come anticipato dalla notazione

stessa, Yk e Yω sono le gaussiane corrispondenti appunto alla permeabilità e porosità, mentre R

è un'altra variabile aleatoria 'ausiliaria', indipendente dalla Yω.

Scegliendo per R lo stesso variogramma γω(h) di Yωsi ottiene facilmente, per il variogramma

diretto:

γk(h) = γω(h)

e, per il variogramma incrociato:

γKω(h) = 1₂E [(Yk(x + h) − Yk(x)) (Yω(x + h) − Yω(x))]

= ρ · γω(h)

Un tale modello di corregionalizzazione prende il nome di intrinseco: tutte le strutture di cor- relazione spaziale, dirette ed incrociate, sono multipli di un unico modello di base. Fissato il modello di variogramma, gli unici gradi di libertà di un tale modello di corregionalizzazione sono la portata ed il coeciente di correlazione.

6.4.2 Uso stocastico della relazione porosità/permeabilità

A partire dalle realizzazioni di Funzioni Aleatorie gaussiane, esse si trasformano in lognormali mediante una generica trasformazione lognormale T . La stessa trasformazione sarà applicata alla Yω ed alla Yk per ottenere la coppia di variabili lognormali correlate:

Zk= T (Yk) e Zω = T (Yω)

Come ultimo passaggio, a queste trasformate lognormali viene applicata la legge empirica di correlazione tra K e ω. Denita F relazione tra ω e K tale che:

K = F(ω)

la variabile lognormale Zk verrà trasformata in permeabilità K mediante F. Riassumendo:

Yω = N (0, 1, γ); −→ Zω= T (Yω); −→ ω = Zω

Si è già avuto modo di discutere della relazione empirica di Bretjinski (6.2.2); si sa oramai che essa è supposta valida ad ogni istante della simulazione, tanto che viene utilizzata in maniera deterministica per aggiornare la permeabilità in funzione delle variazioni di porosità. In questa sezione si vedrà come sia possibile utilizzarla anche per simulare campi di porosità e permeabilità spazialmente variabili e correlati.

In gura 6.14 è riportato il graco della legge. L'idea è di utilizzare la legge dopo la tra- sformazione lognormale, ovvero applicarla alla Zk per ottenere un valore di trasmissività in

correlazione con quello della ω. In pratica però, è essa stessa una trasformazione lognormale, il che si rivela molto utile, rendendo possibile integrarla direttamente nel procedimento.

1e−07 1e−05 1e−03 1e−01

0.1 0.2 0.3 0.4 log10(K) , [m/s] ω

Legge (regressione) di Bretjinski per le sabbie

Figura 6.14: Graco della legge di Bretjinski: regressione tra permeabilità K e porosità ω

Infatti, denite le gaussiane Yω e Yk = ρYω +p1 − ρ2R con Yω, X = N(0, 1), e scelta una

trasformazione lognormale a media geometrica costante (mω, σω), si avrà:

Zω = emω+σωYω ⇒ ω = Zω da una parte e: Zk= emω+σωYk ⇒ K = F(Zk) = 38.78 (exp (mω+ σωYk))7 = 38.78 exp (7mω+ 7σωYk) = 38.78 exp (mk+ σkYk)

dall'altra. Questo signica in pratica che la correlazione di Bretjinski può essere presa in conto direttamente nella trasformazione lognormale, semplicemente denendo i parametri mk e σk

della trasformazione per K, più un coeciente moltiplicativo. Inoltre questo fatto dà modo di calcolare facilmente i valori teorici di varianza e covarianza di ω e K.

In generale infatti se (cfr. (6.5)):

K = A · emk+σk(ρY +√1−ρ2X)

la varianza σ2

K = E[K2] − (E[K])2 sarà:

σ_k2= A2· e2mk+σk2



eσ2k− 1



che non dipende dal ρ scelto per la Yk; mentre la covarianza σkω = E[ Kω] − E[K] · E[ω] avrà la

forma:

σkω = Aemk+mω+12(σω2+σ2k)(eρσωσk− 1) (6.7)

che invece dipende da ρ.

Data la simmetria delle relazioni (6.6) e (6.7), si sarebbe potuto denire la (6.5) nel senso opposto:

Yω= ρYk+

p

1 − ρ2_{R (6.8)}

Questa formulazione permette di conservare il senso originale della legge di Bretjinski, il che ha il vantaggio di essere più corretto dal punto di vista teorico, poiché non si inverte una regressione; al contrario, nel calcolo Hytec a porosità variabile la legge viene sempre interpretata nel senso indicato dalla (6.5), poiché è il ∆ω a generare la variazione di K.

Ad ogni modo, se si sceglie una rappresentazione del tipo (6.8), tutte le formule sopra esposte restano valide. In questo caso, si ssa un modello di variogramma comune alle due variabili, si ssa una trasformazione lognormale per la K e se ne ricava la trasformazione per la ω, avendo opportunamente agito sul coeciente A.

6.4.3 Fitting della legge di Bretjinski

La permeabilità in Hytec viene aggiornata4 _{utilizzando la legge:}

K(t) = K0

 ω(t)

ω0

₇

dove non compare il coeciente A della correlazione tra K e ω; questo fatto è utile per creare dei campi di trasmissività e di porosità correlati, ma con media negli intorni voluti.

I valori di riferimento per le medie, che sono sempre stati utilizzati nel seguito, sono infat- ti a sinistra nella tabella seguente, mentre a destra sono riportati i rispettivi valori calcolati applicando la legge di Bretjinski o la sua inversa:

¯ω : 0.30 Bretjinski7−→ KB : 0.00848 m/s

¯

K : 0.001 m/s ωB : 0.22122

Dunque la legge di Bretjinski nella sua formulazione originale esclude di poter avere due distri- buzioni con le medie desiderate. D'altronde è possibile agire sul coeciente moltiplicativo A per le trasformazioni (6.5) oppure (6.8) in modo da ottenere distribuzioni con le medie volute.

Più in dettaglio, si supponga di imporre la distribuzione di K (mk, σk) tali che µg(K) = 0.001

oppure, il che è quasi equivalente, ¯K = 0.001. Si deve determinare il coeciente A tale che: ¯ω = A emω+σ2ω_{2 = 0.3}

da cui segue piuttosto semplicemente:

A = ¯ωe−_mω−σ2ω₂

4_{si ricorda che, per le proprietà dei poligoni di Voronoï, è possibile calcolare la porosità interblocco direttamente}

come media aritmetica delle porosità delle maglie adiacenti; è a tale valore inter-blocco di porosità che viene aggiornata la permeabilità