Nel capitolo precedente si è introdotta l'equazione del trasporto (2.18), che per una specie chimica di concentrazione c ha la forma:
divD ·−−→grad (c) − c~U= ω∂c∂t+ Q
dove D è il tensore che racchiude il termine diusivo e dispersivo del trasporto, mentre il c~U è il termine convettivo, dipendente linearmente dalla velocità di Darcy ~U. Q è un termine sorgente dovuto ai fenomeni chimici (scambio ionico, adsorbimento, decadimento radioattivo. . . ) che producono o consumano materia.
Il problema è che il termine sorgente Q, se non nullo (ovvero in condizioni di trasporto reat- tivo) dipende in maniera fortemente non-lineare dall'idrodinamica e a sua volta la in uenza, generando una variazione della porosità ω in seguito alla precipitazione/dissoluzione di mi- nerali. Dunque scegliere un criterio puramente idrodinamico (come l'uguaglianza dei ussi o l'uguaglianza delle velocità medie) non mette al riparo dal paradosso di fornire una soluzione plausibile rispetto all'equazione di diusività, ma che condurrebbe rapidamente ad un errore importante per il trasporto e per l'interazione chimico sica uido-roccia-soluti, e in de nitiva sull'evoluzione del sistema.
Il tempo di arrivo di un tracciante potrebbe rappresentare una soluzione; d'altronde è un criterio largamente adottato dagli idrogeologi anche a causa della sua importanza pratica. Pur- troppo però nello schema ai volumi niti implementato da Hytec esso può essere ricavato solo a posteriori per interpolazione, introducendo così un arti cio numerico che è preferibile evitare. Il usso istantaneo delle concentrazioni attraverso la frontiera delle maglie poligonali, al contrario, è una grandezza calcolata esplicitamente dal programma, e che può essere impiegata fruttuosamente come criterio di equivalenza, in quanto consente di arrivare ad un bilancio di massa, ma rende anche conto dell'evoluzione del sistema in ogni istante. Il bilancio di materia è un criterio che può essere adottato sia nel caso di trasporto reattivo che non reattivo; nel
primo caso esso conterrà in sé anche l'informazione relativa alla trasformazione della materia trasportata all'interno del mezzo poroso.
Da queste considerazioni prende origine la seguente proposta come criterio di controllo di equivalenza:
usso cumulativo di materia attraverso i limiti di una zona di riferimento. In notazione matematica, ciò si esprime:
1 Ω Z ∂Ω ∂C ∂~n du = 1 Ω Z ∂Ω ∂c ∂~n du (3.7) Tale criterio:
- è focalizzato sull'evoluzione del sistema piuttosto che sul suo stato in un certo istante; - è calcolato esplicitamente nello schema ai volumi niti;
- consente di confrontare discretizzazioni spaziali dierenti indipendentemente dalla loro forma, a condizione che le frontiere della zona di riferimento siano le stesse.
in conclusione. . .
In questo capitolo sono state illustrate diverse tecniche di cambiamento di scala. La Rinormaliz- zazione Sempli cata è un algoritmo euristico rapido che ha però lo svantaggio di dipendere, in condizioni di permeabilità scalare, dalla conoscenza della direzione locale del usso. Dopo aver proposto un'estensione del metodo al caso generale di maglia poligonale, si è cercato di rendere tale metodo indipendente dalle condizioni eettive di usso; la soluzione trovata consiste nel considerare solo i ussi diretti lungo la normale alle frontiere inter-maglia (Rinormalizzazione della Componente Normale). Tale sempli cazione si basa sulle ipotesi dei volumi niti e sul- le proprietà dei poligoni di Voronoï che costituiscono le discretizzazioni spaziali utilizzate in Hytec.
Queste due tecniche, insieme alla media Matheron, scelta come riferimento teorico, saranno confrontate in una serie di esperienze numeriche volte a determinarne la performance in funzione della variabilità delle simulazioni geostatistiche di permeabilità e della geometria e densità del grid idrodinamico. Si cercherà anche di osservare se il calcolo diretto delle permeabilità inter- maglia porti degli eettivi vantaggi rispetto al classico approccio intra-maglia.
Il criterio scelto per controllare l'equivalenza delle permeabilità al variare della scala è il usso di materia attraverso una frontiera di riferimento del dominio. Questo criterio assicura di poter confrontare discretizzazioni spaziali radicalmente dierenti e sembra più adatto di altri, soprattutto nel caso di trasporto reattivo, a descrivere l'evoluzione del sistema.
Capitolo 4
Sensitività alla tecnica di cambiamento
di scala
4.1 Posizione del problema
Questo capitolo si propone di studiare la sensitività del calcolo del trasporto al metodo di cam- biamento di scala, in funzione della variabilità spaziale della permeabilità e della discretizzazione scelta per il calcolo idrodinamico. A tal ne è stata compiuta una serie estensiva di test nu- merici in condizioni non reattive, vale a dire considerando il trasporto di traccianti perfetti, con la trasmissività come unica grandezza spazialmente variabile. A partire da una simula- zione geostatistica della trasmissività, caratterizzata da parametri quali la portata e la soglia del variogramma, se ne calcolano con diverse tecniche rapide di upscaling i valori equivalenti su domini Hytec diversi per geometria e densità. Dal confronto dei risultati emergeranno le in uenze rispettive degli elementi considerati, e si potranno trarre conclusioni circa la precisione del cambiamento di scala.
È necessario porre l'accento sulla distinzione tra la variabilità spaziale da una parte e la sua rappresentazione dall'altra. Essa è piuttosto sottile ma nondimeno centrale. Si consideri il problema da questo punto di vista: la distribuzione spaziale delle concentrazioni indotta dalla trasmissività eterogenea risulta dalla somma di diversi fattori. Nello schema che ci siamo dati, essi sono essenzialmente tre:
- la variabilità della trasmissività geostatistica, che viene simulata, ed è considerata vera; i parametri che la descrivono sono la portata (in senso geostatistico: lunghezza di correla- zione) e la varianza delle simulazioni. Questa è l'eterogeneità per così dire intrinseca del mezzo;
- la discretizzazione spaziale usata nel modello idrodinamico, che de nisce la precisione alla quale si potrà rappresentare l'eterogeneità; questo è un parametro che dipende dal modellista (o, per meglio dire, dalla potenza di calcolo a disposizione e dalla natura del modello idrodinamico impiegato), ma che riveste un'importanza fondamentale in quanto introduce nel calcolo del trasporto una serie di eetti che, come si mostrerà, è assolutamente indispensabile valutare e minimizzare;
- in ne il metodo di passaggio da una scala all'altra, la cui precisione, in generale, è di fatto un'incognita.
Il tentativo costante intrapreso in questo lavoro è quello di identi care e separare, ove possi- bile, i contributi di ciascun fattore a partire dalle grandezze disponibili o dalle osservabili che se
ne traggono, tenendo ben presente il fatto che esse rappresentano, in qualche modo, la risultante di un iniseme di fattori. Un tale compito non è aatto semplice: si mostrerà che è al contrario piuttosto complicato valutare solo gli eetti della variabilità spaziale e non quelli indotti da problemi di altra natura dovuti alla scelta delle condizioni di calcolo e di precisione numerica del modello idrodinamico. Il prossimo paragrafo sarà proprio dedicato alla discussione delle di coltà che si possono incontrare nel confronto di diverse discretizzazioni, e degli accorgimenti che è necessario prendere.
Le esperienze si dividono in due tronconi, che dieriscono tra loro per il grid geostatistico iniziale, ovvero delle simulazioni della trasmissività, e per la geometria delle discretizzazioni scelte per il calcolo idrodinamico. Una prima serie prevede un passaggio di scala da 64×64 maglie a 16× 16 e 8×8 rispettivamente, mentre la seconda prevede una griglia per le simulazioni geostatistiche di 500 × 500 ed una serie di geometrie dierenti e più complicate per le discretizzazioni Hytec. In questo secondo caso non si avrà a disposizione il calcolo idrodinamico di riferimento, ovvero condotto direttamente sul grid geostatistico, per ragioni di precisione numerica che saranno illustrate nel paragrafo 4.5.2.
I metodi di cambiamento di scala considerati sono la Rinormalizzazione Sempli cata (con direzione del usso ssata a priori), la media Matheron e la Rinormalizzazione della Componente Normale. Si confronteranno questi metodi nella versione intra-blocco (ovvero, la classica trasmissività dei blocchi) e inter-blocco.
La con gurazione permeametro ( gura4.1) utilizzata nelle esperienze di seguito descritte sarà una costante in questo documento, ancorché i metodi utilizzati sono stati sviluppati proprio per permettere di risolvere schemi geometrici assai più generali. Essa consiste in un mezzo poroso quadrato con limiti impermeabili su due lati verticali e usso o carico imposto su quelli orizzontali.
Una particolarità relativa alle illustrazioni presenti in questa memoria e che potrebbe trarre in inganno il lettore è l'orientazione delle gure: in esse il usso apparirà sempre come diretto dal basso verso l'alto. Naturalmente la rappresentazione gra ca è solo convenzionale, trattandosi in ogni caso di domini bidimensionali con usso orizzontale rispetto alla gravità.
flusso limiti impermeabili
Figura 4.1: Con gurazione di tipo permeametro nella rappresentazione convenzionalmente adot- tata in tutta questa memoria. Consiste in un mezzo poroso rettangolare con limiti impermeabili su due lati opposti e usso o carico imposto sugli altri due.
L'osservabile scelta per confrontare le diverse simulazioni è, come introdotto alla ne del capitolo precedente, il usso dei traccianti attraverso una frontiera di riferimento del mezzo poroso.